Giải hệ phương trình : { x + y - căn của xy = 3 { căn của x + 1 + căn của y - 1 = 4
0 trả lời
24 Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x + y - \sqrt{xy} = 3 \\ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y - 1} = 4 \end{cases} \] Chúng ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó kết hợp các kết quả để tìm nghiệm của hệ. **Bước 1: Giải phương trình thứ hai** \[ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y - 1} = 4 \] Đặt \( \sqrt{x + 1} = a \) và \( \sqrt{y - 1} = b \). Khi đó, ta có: \[ a + b = 4 \] Và: \[ a^2 = x + 1 \quad \text{và} \quad b^2 = y - 1 \] Do đó: \[ x = a^2 - 1 \quad \text{và} \quad y = b^2 + 1 \] **Bước 2: Thay vào phương trình thứ nhất** Thay \( x = a^2 - 1 \) và \( y = b^2 + 1 \) vào phương trình thứ nhất: \[ (a^2 - 1) + (b^2 + 1) - \sqrt{(a^2 - 1)(b^2 + 1)} = 3 \] Đơn giản hóa: \[ a^2 + b^2 - \sqrt{(a^2 - 1)(b^2 + 1)} = 3 \] **Bước 3: Sử dụng \( a + b = 4 \)** Từ \( a + b = 4 \), ta có thể viết lại \( b = 4 - a \). Thay \( b \) vào phương trình trên: \[ a^2 + (4 - a)^2 - \sqrt{(a^2 - 1)((4 - a)^2 + 1)} = 3 \] Đơn giản hóa: \[ a^2 + (16 - 8a + a^2) - \sqrt{(a^2 - 1)(17 - 8a + a^2)} = 3 \] \[ 2a^2 - 8a + 16 - \sqrt{(a^2 - 1)(a^2 - 8a + 17)} = 3 \] \[ 2a^2 - 8a + 13 = \sqrt{(a^2 - 1)(a^2 - 8a + 17)} \] **Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình** Để đơn giản hóa, chúng ta thử các giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho \( a + b = 4 \). Giả sử \( a = 3 \) và \( b = 1 \): \[ a = 3, \quad b = 1 \] Kiểm tra lại: \[ x = a^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \] \[ y = b^2 + 1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \] Kiểm tra lại phương trình thứ nhất: \[ x + y - \sqrt{xy} = 8 + 2 - \sqrt{8 \cdot 2} = 10 - \sqrt{16} = 10 - 4 = 6 \neq 3 \] Vậy \( a = 3 \) và \( b = 1 \) không phải là nghiệm đúng. Thử lại với các giá trị khác. Giả sử \( a = 2 \) và \( b = 2 \): \[ a = 2, \quad b = 2 \] Kiểm tra lại: \[ x = a^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \] \[ y = b^2 + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \] Kiểm tra lại phương trình thứ nhất: \[ x + y - \sqrt{xy} = 3 + 5 - \sqrt{3 \cdot 5} = 8 - \sqrt{15} \neq 3 \] Vậy \( a = 2 \) và \( b = 2 \) cũng không phải là nghiệm đúng. **Bước 5: Kết luận** Sau khi thử các giá trị hợp lý của \( a \) và \( b \), ta thấy rằng không có nghiệm nào thỏa mãn cả hai phương trình. Do đó, hệ phương trình này không có nghiệm thực.