Để tìm các số nguyên \( x \) thỏa mãn bất phương trình \((x-7)(x+3) < 0\), ta cần phân tích và giải bất phương trình này.

1. **Xác định các nghiệm của phương trình \((x-7)(x+3) = 0\)**:
- \( x - 7 = 0 \) ⇒ \( x = 7 \)
- \( x + 3 = 0 \) ⇒ \( x = -3 \)

2. **Xác định các khoảng nghiệm của bất phương trình \((x-7)(x+3) < 0\)**:
- Bất phương trình \((x-7)(x+3) < 0\) sẽ thay đổi dấu tại các điểm \( x = 7 \) và \( x = -3 \).
- Chia trục số thành các khoảng dựa trên các nghiệm này: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 7) \), và \( (7, \infty) \).

3. **Xét dấu của biểu thức \((x-7)(x+3)\) trên các khoảng**:
- Với \( x \in (-\infty, -3) \):
- \( x - 7 < 0 \)
- \( x + 3 < 0 \)
- \((x-7)(x+3) > 0\) (tích của hai số âm là số dương)
- Với \( x \in (-3, 7) \):
- \( x - 7 < 0 \)
- \( x + 3 > 0 \)
- \((x-7)(x+3) < 0\) (tích của một số âm và một số dương là số âm)
- Với \( x \in (7, \infty) \):
- \( x - 7 > 0 \)
- \( x + 3 > 0 \)
- \((x-7)(x+3) > 0\) (tích của hai số dương là số dương)

4. **Kết luận**:
- Bất phương trình \((x-7)(x+3) < 0\) chỉ thỏa mãn trong khoảng \( (-3, 7) \).

5. **Tìm các số nguyên trong khoảng \((-3, 7)\)**:
- Các số nguyên trong khoảng này là: \( -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \).

Vậy các số nguyên \( x \) thỏa mãn bất phương trình \((x-7)(x+3) < 0\) là: \( -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \).