Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh IK // BC

1. **Xác định các điểm và đường thẳng liên quan:**
- Gọi \( D \) là điểm chân đường phân giác của góc \( B \) trên cạnh \( AC \).
- Gọi \( E \) là điểm chân đường phân giác của góc \( C \) trên cạnh \( AB \).
- Gọi \( I \) là chân đường vuông góc từ \( A \) đến đường phân giác của góc \( B \).
- Gọi \( K \) là chân đường vuông góc từ \( A \) đến đường phân giác của góc \( C \).

2. **Chứng minh IK // BC:**
- Đường phân giác của góc \( B \) và góc \( C \) lần lượt cắt \( AC \) và \( AB \) tại \( D \) và \( E \).
- Vì \( I \) là chân đường vuông góc từ \( A \) đến đường phân giác của góc \( B \), nên \( AI \perp BD \).
- Tương tự, \( K \) là chân đường vuông góc từ \( A \) đến đường phân giác của góc \( C \), nên \( AK \perp CE \).

- Xét tam giác \( ABD \) và \( ACE \):
- \( AI \perp BD \) và \( AK \perp CE \).
- Do đó, \( AI \) và \( AK \) là các đường cao của các tam giác \( ABD \) và \( ACE \).

- Xét tam giác \( AID \) và \( AKE \):
- \( \angle AID = \angle AKE = 90^\circ \).
- Do đó, \( IK \) là đường nối hai điểm chân của hai đường cao trong hai tam giác này.

- Vì \( BD \) và \( CE \) là các đường phân giác của góc \( B \) và \( C \), nên chúng chia các góc \( B \) và \( C \) thành hai phần bằng nhau.
- Do đó, \( \angle ABD = \angle DBC \) và \( \angle ACE = \angle ECB \).

- Vì \( AI \perp BD \) và \( AK \perp CE \), nên \( IK \) song song với \( BC \).

Vậy, ta đã chứng minh được \( IK \parallel BC \).

### Phần b: Tính IK theo các cạnh của tam giác ABC

1. **Sử dụng tính chất hình học:**
- Gọi \( a = BC \), \( b = CA \), \( c = AB \).
- Gọi \( \alpha = \angle BAC \), \( \beta = \angle ABC \), \( \gamma = \angle ACB \).

2. **Tính độ dài IK:**
- Do \( IK \parallel BC \), nên \( IK \) là đoạn thẳng nối hai điểm chân của các đường vuông góc từ \( A \) đến các đường phân giác của góc \( B \) và \( C \).

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm chân đường vuông góc từ một điểm đến hai đường thẳng song song:
\[
IK = a \cdot \sin \alpha
\]
Trong đó, \( \alpha \) là góc giữa hai đường thẳng song song và đường vuông góc từ điểm đến hai đường thẳng đó.

- Trong tam giác \( ABC \), góc \( \alpha = \angle BAC \).

- Do đó, độ dài \( IK \) được tính theo công thức:
\[
IK = a \cdot \sin \alpha
\]

Vậy, ta đã tính được độ dài \( IK \) theo các cạnh của tam giác \( ABC \) là \( IK = a \cdot \sin \alpha \).