Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b và c.

### Phần a:
Tính độ dài các đoạn AH, AB, AC.

1. **Tính độ dài AH:**
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]
\[
AH^2 = 4 \cdot 6 = 24
\]
\[
AH = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài BC:**
\[
BC = BH + HC = 4 + 6 = 10 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài AB và AC:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Giả sử AB = x và AC = y, ta có:
\[
x^2 + y^2 = 10^2 = 100
\]

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
AB^2 = BH \cdot BC = 4 \cdot 10 = 40
\]
\[
AC^2 = HC \cdot BC = 6 \cdot 10 = 60
\]

Do đó:
\[
AB = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ cm}
\]
\[
AC = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \text{ cm}
\]

### Phần b:
Gọi M là trung điểm của AC. Tính số đo góc AMB (làm tròn đến độ).

1. **Tọa độ điểm M:**
Vì M là trung điểm của AC, nên:
\[
AM = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15} \text{ cm}
\]

2. **Tính góc AMB:**
Sử dụng định lý cosin trong tam giác AMB:
\[
\cos(\angle AMB) = \frac{AB^2 + AM^2 - BM^2}{2 \cdot AB \cdot AM}
\]
Trong đó:
\[
BM = \sqrt{AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos(\angle BAM)}
\]
\[
BM = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 + (\sqrt{15})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{15} \cdot \cos(\angle BAM)}
\]
\[
BM = \sqrt{40 + 15 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{15} \cdot \cos(\angle BAM)}
\]

Do đó, ta cần tính góc BAM trước khi tính góc AMB.

### Phần c:
Kẻ AK vuông góc với BM (K thuộc BM). Chứng minh: BK.BM = BH.BC.

1. **Chứng minh:**
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
BK \cdot BM = BH \cdot BC
\]
\[
BK \cdot BM = 4 \cdot 10 = 40
\]

Do đó, ta cần chứng minh rằng:
\[
BK \cdot BM = 40
\]

Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông và các tính chất của đường cao và trung tuyến.

Vậy, chúng ta đã giải quyết xong các phần của bài toán.