Để tìm số tự nhiên \( n \) và \( x \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta sẽ giải từng phương trình một.

### Phương trình 1:
\[ 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + n = 378 \]

Tổng của dãy số tự nhiên từ 1 đến \( n \) có thể được tính bằng công thức:
\[ \frac{n(n + 1)}{2} = 378 \]

Giải phương trình này:
\[ n(n + 1) = 756 \]

Đây là một phương trình bậc hai:
\[ n^2 + n - 756 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong đó \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = -756 \):
\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3024}}{2} \]
\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{3025}}{2} \]
\[ n = \frac{-1 \pm 55}{2} \]

Ta có hai nghiệm:
\[ n = \frac{54}{2} = 27 \]
\[ n = \frac{-56}{2} = -28 \] (loại vì \( n \) là số tự nhiên)

Vậy \( n = 27 \).

### Phương trình 2:
\[ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2x = 110 \]

Tổng của dãy số chẵn từ 2 đến \( 2x \) có thể được tính bằng công thức:
\[ 2(1 + 2 + 3 + \ldots + x) = 110 \]

Tổng của dãy số tự nhiên từ 1 đến \( x \) là:
\[ \frac{x(x + 1)}{2} \]

Do đó:
\[ 2 \cdot \frac{x(x + 1)}{2} = 110 \]
\[ x(x + 1) = 110 \]

Đây là một phương trình bậc hai:
\[ x^2 + x - 110 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong đó \( a = 1 \), \( b = 1 \), và \( c = -110 \):
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 440}}{2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{441}}{2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm 21}{2} \]

Ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{20}{2} = 10 \]
\[ x = \frac{-22}{2} = -11 \] (loại vì \( x \) là số tự nhiên)

Vậy \( x = 10 \).

### Kết luận:
Số tự nhiên \( n \) là 27 và số tự nhiên \( x \) là 10.