Để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (UCLN) của chúng là 1. Ta sẽ lần lượt chứng minh cho từng cặp số.

### a) 2n + 5 và 3n + 7

Giả sử \( d \) là ước chung của \( 2n + 5 \) và \( 3n + 7 \). Điều này có nghĩa là \( d \) chia hết cả \( 2n + 5 \) và \( 3n + 7 \).

Ta có:
\[ d \mid (2n + 5) \]
\[ d \mid (3n + 7) \]

Sử dụng phép biến đổi tuyến tính, ta có thể tạo ra một biểu thức mới bằng cách nhân và trừ các phương trình trên:

\[ d \mid (3(2n + 5) - 2(3n + 7)) \]

Tính toán biểu thức trên:
\[ 3(2n + 5) - 2(3n + 7) = 6n + 15 - 6n - 14 = 1 \]

Do đó:
\[ d \mid 1 \]

Vì \( d \) là ước của 1, nên \( d = 1 \). Điều này chứng tỏ rằng \( 2n + 5 \) và \( 3n + 7 \) là nguyên tố cùng nhau.

### b) 2n + 3 và 3n + 1

Giả sử \( d \) là ước chung của \( 2n + 3 \) và \( 3n + 1 \). Điều này có nghĩa là \( d \) chia hết cả \( 2n + 3 \) và \( 3n + 1 \).

Ta có:
\[ d \mid (2n + 3) \]
\[ d \mid (3n + 1) \]

Sử dụng phép biến đổi tuyến tính, ta có thể tạo ra một biểu thức mới bằng cách nhân và trừ các phương trình trên:

\[ d \mid (3(2n + 3) - 2(3n + 1)) \]

Tính toán biểu thức trên:
\[ 3(2n + 3) - 2(3n + 1) = 6n + 9 - 6n - 2 = 7 \]

Do đó:
\[ d \mid 7 \]

Vì \( d \) là ước của 7, nên \( d \) có thể là 1 hoặc 7. Tuy nhiên, nếu \( d = 7 \), thì cả \( 2n + 3 \) và \( 3n + 1 \) đều phải chia hết cho 7. Ta sẽ kiểm tra điều này:

Giả sử \( 2n + 3 \equiv 0 \pmod{7} \) và \( 3n + 1 \equiv 0 \pmod{7} \).

Từ \( 2n + 3 \equiv 0 \pmod{7} \), ta có:
\[ 2n \equiv -3 \pmod{7} \]
\[ 2n \equiv 4 \pmod{7} \]
\[ n \equiv 2 \pmod{7} \]

Từ \( 3n + 1 \equiv 0 \pmod{7} \), ta có:
\[ 3n \equiv -1 \pmod{7} \]
\[ 3n \equiv 6 \pmod{7} \]
\[ n \equiv 2 \pmod{7} \]

Như vậy, \( n \equiv 2 \pmod{7} \) thỏa mãn cả hai điều kiện. Tuy nhiên, điều này không ảnh hưởng đến việc \( d \) có thể là 1. Vì vậy, \( d = 1 \) là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện \( d \mid 7 \) và \( d \mid 1 \).

Do đó, \( 2n + 3 \) và \( 3n + 1 \) là nguyên tố cùng nhau.

### Kết luận

Cả hai cặp số \( 2n + 5 \) và \( 3n + 7 \), cũng như \( 2n + 3 \) và \( 3n + 1 \) đều là nguyên tố cùng nhau.