Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( (x+5) \) chia hết cho \( (x-2) \), ta cần điều kiện:

\[ \frac{x+5}{x-2} \]

là một số nguyên.

Giả sử \( k \) là một số nguyên sao cho:

\[ \frac{x+5}{x-2} = k \]

Điều này có nghĩa là:

\[ x + 5 = k(x - 2) \]

Giải phương trình này để tìm \( x \):

\[ x + 5 = kx - 2k \]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một phía và các hạng tử không chứa \( x \) về phía còn lại:

\[ x - kx = -2k - 5 \]

\[ x(1 - k) = -2k - 5 \]

\[ x = \frac{-2k - 5}{1 - k} \]

Để \( x \) là một số nguyên, thì biểu thức \(\frac{-2k - 5}{1 - k}\) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 1 - k \) phải là một ước của \(-2k - 5\).

Xét các giá trị của \( k \):

1. Nếu \( k = 1 \):

\[ x = \frac{-2(1) - 5}{1 - 1} = \frac{-2 - 5}{0} \]

Điều này không xác định vì mẫu số bằng 0.

2. Nếu \( k = 2 \):

\[ x = \frac{-2(2) - 5}{1 - 2} = \frac{-4 - 5}{-1} = \frac{-9}{-1} = 9 \]

3. Nếu \( k = 0 \):

\[ x = \frac{-2(0) - 5}{1 - 0} = \frac{-5}{1} = -5 \]

4. Nếu \( k = -1 \):

\[ x = \frac{-2(-1) - 5}{1 - (-1)} = \frac{2 - 5}{2} = \frac{-3}{2} \]

Điều này không phải là số nguyên.

5. Nếu \( k = -2 \):

\[ x = \frac{-2(-2) - 5}{1 - (-2)} = \frac{4 - 5}{3} = \frac{-1}{3} \]

Điều này không phải là số nguyên.

Từ các giá trị \( k \) đã thử, ta thấy chỉ có các giá trị \( k = 2 \) và \( k = 0 \) cho \( x \) là số nguyên. Vậy các giá trị nguyên của \( x \) là:

\[ x = 9 \quad \text{hoặc} \quad x = -5 \]

Kết luận: Các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn điều kiện là \( x = 9 \) hoặc \( x = -5 \).