Cho tam giác ΔABC, trung tuyến AM, Đường thẳng //BC cắt AB, AM, AC tại E, N, F. K thuộc tia đối tia FB sao cho FK=FB. KN, KM cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh: PQ//BC

Để chứng minh \(PQ \parallel BC\), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng và các định lý liên quan đến tam giác và đường trung tuyến.

1. **Xét tam giác \(\Delta ABC\) với trung tuyến \(AM\):**
- \(M\) là trung điểm của \(BC\).

2. **Đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB, AM, AC\) tại \(E, N, F\):**
- Vì \(EF \parallel BC\), theo định lý Talet, ta có:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AN}{NM} = \frac{AF}{FC}
\]

3. **K thuộc tia đối của tia \(FB\) sao cho \(FK = FB\):**
- Vì \(FK = FB\), \(K\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(F\).

4. **Xét các giao điểm \(P\) và \(Q\):**
- \(KN\) cắt \(AB\) tại \(P\).
- \(KM\) cắt \(AC\) tại \(Q\).

5. **Chứng minh \(PQ \parallel BC\):**

- Xét tam giác \(\Delta ABK\) với \(KN\) là đường trung tuyến (vì \(N\) là trung điểm của \(AM\) và \(K\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(F\)).
- \(KN\) cắt \(AB\) tại \(P\), do đó \(P\) là trung điểm của \(AB\).

- Xét tam giác \(\Delta ACK\) với \(KM\) là đường trung tuyến (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(K\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(F\)).
- \(KM\) cắt \(AC\) tại \(Q\), do đó \(Q\) là trung điểm của \(AC\).

- Vì \(P\) là trung điểm của \(AB\) và \(Q\) là trung điểm của \(AC\), theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có:
\[
PQ \parallel BC
\]

Vậy, ta đã chứng minh được \(PQ \parallel BC\).