Để tìm điều kiện của \( m \) sao cho \( A \cap B \neq \varnothing \), ta cần xét sự giao nhau giữa tập hợp \( A \) và tập hợp \( B \).

Tập hợp \( A \) được cho là:
\[ A = [-3, -1] \cup [2, 4] \]

Tập hợp \( B \) được cho là:
\[ B = (m-1, m+2) \]

Để \( A \cap B \neq \varnothing \), khoảng \( (m-1, m+2) \) phải có phần chung với ít nhất một trong hai khoảng của \( A \).

Xét từng khoảng của \( A \):

1. Khoảng \([-3, -1]\):
- \( (m-1, m+2) \cap [-3, -1] \neq \varnothing \)
- Điều này xảy ra khi khoảng \( (m-1, m+2) \) có phần chung với khoảng \([-3, -1]\), tức là:
\[ m+2 > -3 \quad \text{và} \quad m-1 < -1 \]
- Giải các bất phương trình này:
\[ m+2 > -3 \implies m > -5 \]
\[ m-1 < -1 \implies m < 0 \]
- Vậy điều kiện từ khoảng này là:
\[ -5 < m < 0 \]

2. Khoảng \([2, 4]\):
- \( (m-1, m+2) \cap [2, 4] \neq \varnothing \)
- Điều này xảy ra khi khoảng \( (m-1, m+2) \) có phần chung với khoảng \([2, 4]\), tức là:
\[ m+2 > 2 \quad \text{và} \quad m-1 < 4 \]
- Giải các bất phương trình này:
\[ m+2 > 2 \implies m > 0 \]
\[ m-1 < 4 \implies m < 5 \]
- Vậy điều kiện từ khoảng này là:
\[ 0 < m < 5 \]

Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có:
\[ -5 < m < 0 \quad \text{hoặc} \quad 0 < m < 5 \]

Điều này có thể viết gọn lại là:
\[ -5 < m < 5 \quad \text{và} \quad m \neq 0 \]

Vậy điều kiện của \( m \) để \( A \cap B \neq \varnothing \) là:
\[ -5 < m < 5 \quad \text{và} \quad m \neq 0 \]