Cho tam giác ABC vuông tại A trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE, kẻ tia phân giác góc B cắt AC tại H.

a) Chứng minh tam giác BHA = tam giác BHE:

- Xét tam giác BHA và tam giác BHE:
- \(BA = BE\) (giả thiết)
- \(BH\) là cạnh chung.
- \(\angle ABH = \angle EBH\) (vì \(BH\) là tia phân giác của \(\angle ABC\)).

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[ \triangle BHA = \triangle BHE \]

b) Chứng minh HE vuông góc với BC:

- Từ phần a, ta có \(\triangle BHA = \triangle BHE\), suy ra:
- \(\angle BHA = \angle BHE\).

- Xét tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\):
- \(\angle BAC = 90^\circ\).

- Do \(H\) nằm trên \(AC\) và \(BH\) là tia phân giác của \(\angle ABC\), ta có:
- \(\angle BHA + \angle BHC = 90^\circ\).

- Vì \(\angle BHA = \angle BHE\), ta có:
- \(\angle BHE + \angle BHC = 90^\circ\).

- Do đó, \(\angle BHE = 90^\circ - \angle BHC\).

- Vì \(\angle BHC = 90^\circ\), ta có:
- \(\angle BHE = 90^\circ\).

Vậy, \(HE\) vuông góc với \(BC\).

c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(BH\) và \(AE\). Chứng minh \(BH\) vuông góc với \(AE\):

- Xét tam giác \(BAE\):
- \(BA = BE\) (giả thiết).

- Do đó, tam giác \(BAE\) là tam giác cân tại \(B\).

- Trong tam giác cân \(BAE\), đường phân giác \(BH\) cũng là đường cao, do đó:
- \(BH \perp AE\).

Vậy, \(BH\) vuông góc với \(AE\).