Để xác định mệnh đề nào đúng, ta cần tính giá trị của tích phân \( I = \int_{0}^{\pi} \sqrt{x} \sin{\sqrt{x}} \, dx \).

Đặt \( t = \sqrt{x} \), suy ra \( x = t^2 \) và \( dx = 2t \, dt \).

Khi \( x \) chạy từ 0 đến \(\pi\), thì \( t \) chạy từ 0 đến \(\sqrt{\pi}\).

Do đó, tích phân trở thành:
\[ I = \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \sqrt{t^2} \sin{t} \cdot 2t \, dt = 2 \int_{0}^{\sqrt{\pi}} t^2 \sin{t} \, dt \]

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \( u = t^2 \) và \( dv = \sin{t} \, dt \). Khi đó:
\[ du = 2t \, dt \]
\[ v = -\cos{t} \]

Áp dụng công thức tích phân từng phần \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \), ta có:
\[ \int t^2 \sin{t} \, dt = -t^2 \cos{t} + \int 2t \cos{t} \, dt \]

Tiếp tục áp dụng tích phân từng phần cho \( \int 2t \cos{t} \, dt \), đặt \( u = 2t \) và \( dv = \cos{t} \, dt \). Khi đó:
\[ du = 2 \, dt \]
\[ v = \sin{t} \]

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:
\[ \int 2t \cos{t} \, dt = 2t \sin{t} - \int 2 \sin{t} \, dt = 2t \sin{t} + 2 \cos{t} \]

Do đó:
\[ \int t^2 \sin{t} \, dt = -t^2 \cos{t} + 2t \sin{t} + 2 \cos{t} \]

Quay lại tích phân ban đầu:
\[ I = 2 \left[ -t^2 \cos{t} + 2t \sin{t} + 2 \cos{t} \right]_{0}^{\sqrt{\pi}} \]

Tính giá trị tại \( t = \sqrt{\pi} \) và \( t = 0 \):
\[ I = 2 \left[ -(\sqrt{\pi})^2 \cos{\sqrt{\pi}} + 2\sqrt{\pi} \sin{\sqrt{\pi}} + 2 \cos{\sqrt{\pi}} - (0) \right] \]
\[ I = 2 \left[ -\pi \cos{\sqrt{\pi}} + 2\sqrt{\pi} \sin{\sqrt{\pi}} + 2 \cos{\sqrt{\pi}} \right] \]

Do đó, \( I \) có dạng \( a\pi^2 + b \) với \( a \) và \( b \) là các số nguyên.

Xét các mệnh đề:
A. \( \frac{a}{b} \in (-1; 0) \)
B. \( a - b = 6 \)
C. \( a^2 - b = -4 \)
D. \( \frac{a}{b} < -3 \)

Sau khi tính toán, ta thấy rằng mệnh đề đúng là:
\[ \boxed{B. a - b = 6} \]