Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn giải các bài toán này nhé.

### VD1: Tính giá trị biểu thức
a) \( A = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 \) tại \( x = 3 \).

Thay \( x = 3 \) vào biểu thức:
\[ A = 27(3)^3 + 27(3)^2 + 9(3) + 1 \]
\[ A = 27 \cdot 27 + 27 \cdot 9 + 27 + 1 \]
\[ A = 729 + 243 + 27 + 1 \]
\[ A = 1000 \]

b) \( B = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 \) tại \( x = 2 \).

Thay \( x = 2 \) vào biểu thức:
\[ B = 8(2)^3 - 36(2)^2 + 54(2) - 27 \]
\[ B = 8 \cdot 8 - 36 \cdot 4 + 54 \cdot 2 - 27 \]
\[ B = 64 - 144 + 108 - 27 \]
\[ B = 1 \]

c) \( C = (x + 2y)^3 + 6(x + 2y)^2 + 12(x + 2y) + 8 \) tại \( x = 2 \) và \( y = 3 \).

Thay \( x = 2 \) và \( y = 3 \) vào biểu thức:
\[ C = (2 + 2 \cdot 3)^3 + 6(2 + 2 \cdot 3)^2 + 12(2 + 2 \cdot 3) + 8 \]
\[ C = (2 + 6)^3 + 6(2 + 6)^2 + 12(2 + 6) + 8 \]
\[ C = 8^3 + 6 \cdot 8^2 + 12 \cdot 8 + 8 \]
\[ C = 512 + 6 \cdot 64 + 96 + 8 \]
\[ C = 512 + 384 + 96 + 8 \]
\[ C = 1000 \]

d) \( D = (x + y)^3 - 9(x + y)^2 + 27(x + y) - 27 \) tại \( x = 4 \) và \( y = 1 \).

Thay \( x = 4 \) và \( y = 1 \) vào biểu thức:
\[ D = (4 + 1)^3 - 9(4 + 1)^2 + 27(4 + 1) - 27 \]
\[ D = 5^3 - 9 \cdot 5^2 + 27 \cdot 5 - 27 \]
\[ D = 125 - 9 \cdot 25 + 135 - 27 \]
\[ D = 125 - 225 + 135 - 27 \]
\[ D = 8 \]

### Câu 1: Khai triển biểu thức sau
a) \( (x + 2)^3 \):
\[ (x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 + 2^3 \]
\[ = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]

b) \( (2x - 3)^3 \):
\[ (2x - 3)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 - 3^3 \]
\[ = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 \]

c) \( (2x^2 y - xy)^3 \):
\[ (2x^2 y - xy)^3 = (2x^2 y)^3 - 3 \cdot (2x^2 y)^2 \cdot (xy) + 3 \cdot (2x^2 y) \cdot (xy)^2 - (xy)^3 \]
\[ = 8x^6 y^3 - 12x^5 y^2 + 6x^4 y^3 - x^3 y^3 \]

d) \( 27x^3 + 8y^3 \):
\[ 27x^3 + 8y^3 = (3x)^3 + (2y)^3 = (3x + 2y)(9x^2 - 6xy + 4y^2) \]

e) \( x^3 y + 27 + 8 \):
\[ x^3 y + 27 + 8 = x^3 y + 35 \]

### Câu 2: Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức
a) \( 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 \):
\[ 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 = (2x + 3)^3 \]

b) \( 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1 \):
\[ 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1 = (3a - 1)^3 \]

c) \( (a + 2b)^3 - (a + 2b)(a^2 + 2ab + b^2) \):
\[ (a + 2b)^3 - (a + 2b)(a^2 + 2ab + b^2) = (a + 2b)^3 - (a + 2b)^3 = 0 \]

d) \( (x - 2y)^3 + 6xy(x - 2y) - x^3 \):
\[ (x - 2y)^3 + 6xy(x - 2y) - x^3 = x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 + 6xy(x - 2y) - x^3 \]
\[ = -6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 + 6xy(x - 2y) \]
\[ = -6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 + 6x^2y - 12xy^2 \]
\[ = -8y^3 \]

### Câu 3: Tính giá trị biểu thức
a) \( A = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \) tại \( x = 12 \).

Thay \( x = 12 \) vào biểu thức:
\[ A = 12^3 - 6 \cdot 12^2 + 12 \cdot 12 - 8 \]
\[ A = 1728 - 864 + 144 - 8 \]
\[ A = 1000 \]

b) \( B = (2x - 1)^3 + 6(2x - 1)^2 + 12(2x - 1) + 8 \) tại \( x = 5 \).

Thay \( x = 5 \) vào biểu thức:
\[ B = (2 \cdot 5 - 1)^3 + 6(2 \cdot 5 - 1)^2 + 12(2 \cdot 5 - 1) + 8 \]
\[ B = (10 - 1)^3 + 6(10 - 1)^2 + 12(10 - 1) + 8 \]
\[ B = 9^3 + 6 \cdot 9^2 + 12 \cdot 9 + 8 \]
\[ B = 729 + 6 \cdot 81 + 108 + 8 \]
\[ B = 729 + 486 + 108 + 8 \]
\[ B = 1331 \]

c) \( C = (x + 2y) - (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) \) tại \( x = 5 \) và \( y = 2 \).

Thay \( x = 5 \) và \( y = 2 \) vào biểu thức:
\[ C = (5 + 2 \cdot 2) - (5 + 2 \cdot 2)(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 + 4 \cdot 2^2) \]
\[ C = 9 - 9(25 - 20 + 16) \]
\[ C = 9 - 9 \cdot 21 \]
\[ C = 9 - 189 \]
\[ C = -180 \]

d) \( D = x^2 - 8y^3 \) biết \( x - 2y = 10 \) và \( xy = -6 \).

Từ \( x - 2y = 10 \), ta có \( x = 10 + 2y \).

Thay vào \( xy = -6 \):
\[ (10 + 2y)y = -6 \]
\[ 10y + 2y^2 = -6 \]
\[ 2y^2 + 10y + 6 = 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ y = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} \]
\[ y = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 48}}{4} \]
\[ y = \frac{-10 \pm \sqrt{52}}{4} \]
\[ y = \frac{-10 \pm 2\sqrt{13}}{4} \]
\[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} \]

Thay \( y \) vào \( x = 10 + 2y \):
\[ x = 10 + 2 \cdot \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} \]
\[ x = 10 - 5 \pm \sqrt{13} \]
\[ x = 5 \pm \sqrt{13} \]

Tính \( D \):
\[ D = (5 \pm \sqrt{13})^2 - 8 \left( \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} \right)^3 \]
\[ D = 25 + 10\sqrt{13} + 13 - 8 \left( \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} \right)^3 \]
\[ D = 38 + 10\sqrt{13} - 8 \left( \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} \right)^3 \]

### Câu 4: Tính nhanh
a) \( 999^3 \):
\[ 999 = 1000 - 1 \]
\[ 999^3 = (1000 - 1)^3 \]
\[ = 1000^3 - 3 \cdot 1000^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1000 \cdot 1^2 - 1^3 \]
\[ = 1000000000 - 3000000 + 3000 - 1 \]
\[ = 997002999 \]

b) \( 59^3 + 3 \cdot 59^2 + 3 \cdot 59 + 1 \):
\[ 59 = 60 - 1 \]
\[ 59^3 + 3 \cdot 59^2 + 3 \cdot 59 + 1 = (60 - 1)^3 \]
\[ = 60^3 - 3 \cdot 60^2 \cdot 1 + 3 \cdot 60 \cdot 1^2 - 1^3 \]
\[ = 216000 - 10800 + 180 - 1 \]
\[ = 205379 \]

c) \( 503^3 - 9 \cdot 503^2 + 27 \cdot 503 - 27 \):
\[ 503 = 500 + 3 \]
\[ 503^3 - 9 \cdot 503^2 + 27 \cdot 503 - 27 = (500 + 3)^3 - 9(500 + 3)^2 + 27(500 + 3) - 27 \]
\[ = 125000000 + 3 \cdot 500^2 \cdot 3 + 3 \cdot 500 \cdot 3^2 + 3^3 - 9(500^2 + 2 \cdot 500 \cdot 3 + 3^2) + 27(500 + 3) - 27 \]
\[ = 125000000 + 2250000 + 4500 + 27 - 9(250000 + 3000 + 9) + 13500 - 27 \]
\[ = 125000000 + 2250000 + 4500 + 27 - 2250000 - 27000 - 81 + 13500 - 27 \]
\[ = 125000000 + 4500 - 27000 + 13500 - 81 \]
\[ = 125000000 - 13581 \]
\[ = 124986419 \]

Hy vọng các giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào khác, bạn cứ hỏi nhé!