Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

**a) Chứng minh: \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \)**

Ta có \( E \) và \( F \) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \). Do đó, \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Xét hai tam giác vuông \( \triangle AHE \) và \( \triangle AHF \):

- Trong \( \triangle AHE \):
\[
\sin \angle HAE = \frac{HE}{AH}
\]
\[
HE = AH \cdot \sin \angle HAE
\]

- Trong \( \triangle AHF \):
\[
\sin \angle HAF = \frac{HF}{AH}
\]
\[
HF = AH \cdot \sin \angle HAF
\]

Do \( \angle HAE = \angle HAF \) (cùng là góc phụ của \( \angle BAC \)), ta có:
\[
HE = HF
\]

Suy ra:
\[
AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

**b) Gọi \( I \) là giao điểm của \( EF \) và \( BC \). Chứng minh tam giác \( \triangle AEF \) đồng dạng với \( \triangle ACB \) và \( IE \cdot IF = IB \cdot IC \)**

Để chứng minh \( \triangle AEF \) đồng dạng với \( \triangle ACB \), ta xét các góc:

- \( \angle AEF = \angle ACB \) (cùng chắn cung \( EF \) và \( BC \) tương ứng)
- \( \angle AFE = \angle ABC \) (cùng chắn cung \( EF \) và \( BC \) tương ứng)
- \( \angle EAF = \angle BAC \) (góc chung)

Do đó, \( \triangle AEF \) đồng dạng với \( \triangle ACB \).

Vì \( \triangle AEF \) đồng dạng với \( \triangle ACB \), ta có:
\[
\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}
\]

Gọi \( I \) là giao điểm của \( EF \) và \( BC \), ta có:
\[
IE \cdot IF = IB \cdot IC
\]

**c) Biết \( AH = 6 \) cm, \( AE = 5 \) cm, \( HF = 4 \) cm. Tính \( BC \)**

Ta có:
\[
AE = 5 \text{ cm}
\]
\[
HF = 4 \text{ cm}
\]
\[
AH = 6 \text{ cm}
\]

Xét tam giác vuông \( \triangle AHE \):
\[
HE = \sqrt{AH^2 - AE^2} = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11} \text{ cm}
\]

Xét tam giác vuông \( \triangle AHF \):
\[
AF = \sqrt{AH^2 - HF^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ cm}
\]

Do \( E \) và \( F \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \), ta có:
\[
AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

Suy ra:
\[
5 \cdot AB = 2\sqrt{5} \cdot AC
\]

Do đó:
\[
AB = \frac{2\sqrt{5} \cdot AC}{5}
\]

Vì \( \triangle AEF \) đồng dạng với \( \triangle ACB \), ta có:
\[
\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}
\]

Suy ra:
\[
\frac{5}{AC} = \frac{2\sqrt{5}}{AB}
\]

Từ đó, ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC}
\]

Vì \( \angle BAC \) là góc nhọn, ta có thể sử dụng định lý cosin để tính \( BC \). Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng các giá trị đã biết và tính toán trực tiếp \( BC \).

Do \( AH \) là đường cao, ta có:
\[
BC = \sqrt{(AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC)}
\]

Tuy nhiên, để tính chính xác \( BC \), ta cần biết thêm thông tin về các góc hoặc các cạnh khác của tam giác.