Để tính chiều cao \( AH \) của tam giác \( ABC \) với \( BC \) là đáy, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác có thể được tính bằng hai cách:

1. Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác.
2. Sử dụng công thức diện tích tam giác dựa trên chiều cao và đáy.

### Bước 1: Tính diện tích tam giác bằng công thức Heron

Công thức Heron cho diện tích tam giác là:
\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
trong đó \( s \) là nửa chu vi của tam giác:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]

Với \( a = 6 \) cm, \( b = 8 \) cm, và \( c = 10 \) cm, ta tính \( s \):
\[ s = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \]

Bây giờ, ta tính diện tích \( S \):
\[ S = \sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)} \]
\[ S = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \]
\[ S = \sqrt{576} \]
\[ S = 24 \text{ cm}^2 \]

### Bước 2: Tính chiều cao \( AH \)

Diện tích tam giác cũng có thể được tính bằng công thức:
\[ S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \]

Ở đây, đáy \( BC = 10 \) cm và chiều cao \( AH \). Do đó:
\[ 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times AH \]

Giải phương trình để tìm \( AH \):
\[ 24 = 5 \times AH \]
\[ AH = \frac{24}{5} \]
\[ AH = 4.8 \text{ cm} \]

Vậy, chiều cao \( AH \) của tam giác \( ABC \) là 4.8 cm.