Cho tam giác nhọn ABC, có H là trực tâm. Dựng ra ngoài tam giác một hình chữ nhật ABMN và ACPQ. Đường thẳng qua P, vuông góc với AB, cắt đường thẳng BH tại điểm X. Đường thẳng qua M, vuông góc với AC, cắt đt CH tại Y. Chứng minh rằng NQ = XY

Để chứng minh \(NQ = XY\), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của tam giác và trực tâm. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Xác định các điểm và đường thẳng liên quan:**
- \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
- Dựng hình chữ nhật \(ABMN\) ra ngoài tam giác \(ABC\).
- Dựng hình chữ nhật \(ACPQ\) ra ngoài tam giác \(ABC\).
- Đường thẳng qua \(P\) vuông góc với \(AB\) cắt đường thẳng \(BH\) tại \(X\).
- Đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(AC\) cắt đường thẳng \(CH\) tại \(Y\).

2. **Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau:**
- Xét hình chữ nhật \(ABMN\):
+ \(AB = MN\) và \(AM = BN\).
+ \(M\) là điểm đối xứng của \(B\) qua đường thẳng \(AN\).
- Xét hình chữ nhật \(ACPQ\):
+ \(AC = PQ\) và \(AP = CQ\).
+ \(Q\) là điểm đối xứng của \(C\) qua đường thẳng \(AP\).

3. **Sử dụng tính chất của trực tâm:**
- \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), do đó \(H\) là giao điểm của các đường cao \(AD\), \(BE\), và \(CF\) của tam giác \(ABC\).
- Đường thẳng qua \(P\) vuông góc với \(AB\) cắt đường thẳng \(BH\) tại \(X\), nghĩa là \(PX \parallel AC\).
- Đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(AC\) cắt đường thẳng \(CH\) tại \(Y\), nghĩa là \(MY \parallel AB\).

4. **Sử dụng tính chất hình chữ nhật:**
- Trong hình chữ nhật \(ABMN\), \(MN \parallel AB\) và \(AM \parallel BN\).
- Trong hình chữ nhật \(ACPQ\), \(PQ \parallel AC\) và \(AP \parallel CQ\).

5. **Chứng minh \(NQ = XY\):**
- Do \(PX \parallel AC\) và \(MY \parallel AB\), ta có thể sử dụng các tính chất đối xứng và song song để suy ra rằng các đoạn thẳng \(NQ\) và \(XY\) là các đoạn thẳng tương ứng trong các hình chữ nhật và các đường thẳng song song.
- Cụ thể, \(NQ\) là đoạn thẳng nối hai điểm đối xứng qua các cạnh của hình chữ nhật \(ACPQ\), và \(XY\) là đoạn thẳng nối hai điểm đối xứng qua các cạnh của hình chữ nhật \(ABMN\).

6. **Kết luận:**
- Từ các tính chất trên, ta có thể suy ra rằng \(NQ = XY\).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(NQ = XY\).