Để tìm các số nguyên \( x \) sao cho các phân số có giá trị là một số nguyên, ta cần đảm bảo rằng tử số chia hết cho mẫu số. Dưới đây là các bước giải cho từng phân số:

1. \( A = \frac{x + 5}{x + 1} \)
- Điều kiện: \( x + 1 \) phải là ước của \( x + 5 \).
- \( x + 5 = k(x + 1) \) với \( k \) là một số nguyên.
- Giải phương trình: \( x + 5 = kx + k \Rightarrow x(k - 1) = k - 5 \Rightarrow x = \frac{k - 5}{k - 1} \).
- Thử các giá trị \( k \) nguyên để \( x \) nguyên:
- \( k = 2 \Rightarrow x = -3 \)
- \( k = 3 \Rightarrow x = -2 \)
- \( k = 4 \Rightarrow x = -1.5 \) (không nguyên)
- \( k = 5 \Rightarrow x = -1 \) (không thỏa mãn vì mẫu số bằng 0)
- Các giá trị \( x \) nguyên: \( x = -3, -2 \).
- Giá trị của phân số:
- \( x = -3 \Rightarrow A = \frac{-3 + 5}{-3 + 1} = \frac{2}{-2} = -1 \)
- \( x = -2 \Rightarrow A = \frac{-2 + 5}{-2 + 1} = \frac{3}{-1} = -3 \)

2. \( B = \frac{2x + 4}{x + 3} \)
- Điều kiện: \( x + 3 \) phải là ước của \( 2x + 4 \).
- \( 2x + 4 = k(x + 3) \) với \( k \) là một số nguyên.
- Giải phương trình: \( 2x + 4 = kx + 3k \Rightarrow x(2 - k) = 3k - 4 \Rightarrow x = \frac{3k - 4}{2 - k} \).
- Thử các giá trị \( k \) nguyên để \( x \) nguyên:
- \( k = 2 \Rightarrow x = 2 \)
- \( k = 3 \Rightarrow x = 5 \)
- \( k = 4 \Rightarrow x = 8 \)
- Các giá trị \( x \) nguyên: \( x = 2, 5, 8 \).
- Giá trị của phân số:
- \( x = 2 \Rightarrow B = \frac{2(2) + 4}{2 + 3} = \frac{8}{5} \) (không nguyên)
- \( x = 5 \Rightarrow B = \frac{2(5) + 4}{5 + 3} = \frac{14}{8} \) (không nguyên)
- \( x = 8 \Rightarrow B = \frac{2(8) + 4}{8 + 3} = \frac{20}{11} \) (không nguyên)

3. \( C = \frac{3x + 8}{x - 1} \)
- Điều kiện: \( x - 1 \) phải là ước của \( 3x + 8 \).
- \( 3x + 8 = k(x - 1) \) với \( k \) là một số nguyên.
- Giải phương trình: \( 3x + 8 = kx - k \Rightarrow x(3 - k) = -k - 8 \Rightarrow x = \frac{-k - 8}{3 - k} \).
- Thử các giá trị \( k \) nguyên để \( x \) nguyên:
- \( k = 4 \Rightarrow x = -4 \)
- \( k = 5 \Rightarrow x = -3 \)
- \( k = 6 \Rightarrow x = -2 \)
- Các giá trị \( x \) nguyên: \( x = -4, -3, -2 \).
- Giá trị của phân số:
- \( x = -4 \Rightarrow C = \frac{3(-4) + 8}{-4 - 1} = \frac{-12 + 8}{-5} = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5} \) (không nguyên)
- \( x = -3 \Rightarrow C = \frac{3(-3) + 8}{-3 - 1} = \frac{-9 + 8}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \) (không nguyên)
- \( x = -2 \Rightarrow C = \frac{3(-2) + 8}{-2 - 1} = \frac{-6 + 8}{-3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \) (không nguyên)

4. \( D = \frac{2x - 3}{x - 1} \)
- Điều kiện: \( x - 1 \) phải là ước của \( 2x - 3 \).
- \( 2x - 3 = k(x - 1) \) với \( k \) là một số nguyên.
- Giải phương trình: \( 2x - 3 = kx - k \Rightarrow x(2 - k) = -k + 3 \Rightarrow x = \frac{-k + 3}{2 - k} \).
- Thử các giá trị \( k \) nguyên để \( x \) nguyên:
- \( k = 2 \Rightarrow x = 3 \)
- \( k = 3 \Rightarrow x = 0 \)
- \( k = 4 \Rightarrow x = -1 \)
- Các giá trị \( x \) nguyên: \( x = 3, 0, -1 \).
- Giá trị của phân số:
- \( x = 3 \Rightarrow D = \frac{2(3) - 3}{3 - 1} = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2} \) (không nguyên)
- \( x = 0 \Rightarrow D = \frac{2(0) - 3}{0 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3 \)
- \( x = -1 \Rightarrow D = \frac{2(-1) - 3}{-1 - 1} = \frac{-2 - 3}{-2} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} \) (không nguyên)

Các phân số khác có thể được giải tương tự bằng cách tìm các giá trị \( x \) sao cho tử số chia hết cho mẫu số.