Rút gọn biểu thức lượng giác

Chào bạn! Dưới đây là cách rút gọn các biểu thức lượng giác trong bài tập của bạn:

**Câu 9:**
\[ I = \cos \left( 5\pi - x \right) - \sin \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) + \tan \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) + \cot \left( 3\pi - x \right) \]

Sử dụng các công thức lượng giác:
- \(\cos(5\pi - x) = -\cos(x)\)
- \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)\)
- \(\tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \cot(x)\)
- \(\cot(3\pi - x) = -\cot(x)\)

Thay vào biểu thức:
\[ I = -\cos(x) - (-\cos(x)) + \cot(x) - \cot(x) \]
\[ I = 0 \]

**Câu 10:**
\[ J = \cos(270^\circ - x) - 2\sin(x - 450^\circ) + \cos(x + 900^\circ) + 2\sin(270^\circ - x) \]

Sử dụng các công thức lượng giác:
- \(\cos(270^\circ - x) = -\sin(x)\)
- \(\sin(x - 450^\circ) = \sin(x - 90^\circ - 360^\circ) = -\cos(x)\)
- \(\cos(x + 900^\circ) = \cos(x + 2 \cdot 360^\circ + 180^\circ) = -\cos(x)\)
- \(\sin(270^\circ - x) = -\cos(x)\)

Thay vào biểu thức:
\[ J = -\sin(x) - 2(-\cos(x)) - \cos(x) + 2(-\cos(x)) \]
\[ J = -\sin(x) + 2\cos(x) - \cos(x) - 2\cos(x) \]
\[ J = -\sin(x) - \cos(x) \]

**Câu 11:**
\[ K = \sin^2(x+4) + \sin^2(x+2) + \sin^2(x+3) + \sin^2(x+7) \]

Sử dụng công thức \(\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\):
\[ K = \frac{1 - \cos(2(x+4))}{2} + \frac{1 - \cos(2(x+2))}{2} + \frac{1 - \cos(2(x+3))}{2} + \frac{1 - \cos(2(x+7))}{2} \]
\[ K = \frac{4 - \cos(2x+8) - \cos(2x+4) - \cos(2x+6) - \cos(2x+14)}{2} \]

**Câu 12:**
\[ L = \sin^2(x) + \sin^2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin^2\left(x + \frac{7\pi}{8}\right) \]

Sử dụng công thức \(\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\):
\[ L = \frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)}{2} + \frac{1 - \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)}{2} + \frac{1 - \cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right)}{2} \]
\[ L = \frac{4 - \cos(2x) - \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right)}{2} \]

**Câu 13:**
\[ M = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) \sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \]

Sử dụng các công thức lượng giác:
- \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\)
- \(\cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)\)
- \(\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = -\cos(x)\)
- \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)\)

Thay vào biểu thức:
\[ M = \sin(x) + (-\sin(x))(-\cos(x)) - (-\cos(x)) \]
\[ M = \sin(x) + \sin(x)\cos(x) + \cos(x) \]

**Câu 14:**
\[ N = \sin^2(x + x) + \cos(x - x) - 2\sin^2(x + 2x) - \sin(x - 3) + \cos(x - 2) \]

Sử dụng các công thức lượng giác:
- \(\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}\)
- \(\cos(0) = 1\)
- \(\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2}\)
- \(\sin(x - 3)\) và \(\cos(x - 2)\) giữ nguyên

Thay vào biểu thức:
\[ N = \frac{1 - \cos(4x)}{2} + 1 - 2\left(\frac{1 - \cos(6x)}{2}\right) - \sin(x - 3) + \cos(x - 2) \]
\[ N = \frac{1 - \cos(4x)}{2} + 1 - (1 - \cos(6x)) - \sin(x - 3) + \cos(x - 2) \]
\[ N = \frac{1 - \cos(4x)}{2} + \cos(6x) - \sin(x - 3) + \cos(x - 2) \]

**Câu 15:**
\[ O = \frac{\tan\left(\frac{19\pi}{2} - x\right) - \cos\left(36\pi - x\right) \sin(x - 5\pi)}{\sin\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) \cos(x - 99\pi)} \]

Sử dụng các công thức lượng giác:
- \(\tan\left(\frac{19\pi}{2} - x\right) = \cot(x)\)
- \(\cos(36\pi - x) = \cos(x)\)
- \(\sin(x - 5\pi) = -\sin(x)\)
- \(\sin\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\)
- \(\cos(x - 99\pi) = \cos(x)\)

Thay vào biểu thức:
\[ O = \frac{\cot(x) - \cos(x)(-\sin(x))}{\cos(x)\cos(x)} \]
\[ O = \frac{\cot(x) + \cos(x)\sin(x)}{\cos^2(x)} \]
\[ O = \frac{\cot(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\cos(x)\sin(x)}{\cos^2(x)} \]
\[ O = \frac{\cos(x)}{\sin(x)\cos^2(x)} + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
\[ O = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} + \tan(x) \]

**Câu 16:**
\[ P = \sin\left(x + \frac{85\pi}{2}\right) + \cos\left(207\pi + x\right) + \sin^2\left(33\pi + x\right) + \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) \]

Sử dụng các công thức lượng giác:
- \(\sin\left(x + \frac{85\pi}{2}\right) = \cos(x)\)
- \(\cos(207\pi + x) = -\cos(x)\)
- \(\sin^2(33\pi + x) = \sin^2(x)\)
- \(\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos(x)\)

Thay vào biểu thức:
\[ P = \cos(x) - \cos(x) + \sin^2(x) - \cos(x) \]
\[ P = \sin^2(x) - \cos(x) \]

Hy vọng các bước giải trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách rút gọn các biểu thức lượng giác. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào khác, bạn cứ hỏi nhé!