Để chứng minh rằng các biểu thức đã cho chia hết cho các số tương ứng, ta sẽ sử dụng phép đồng dư.

a) Chứng minh rằng \(5^5 - 5^4 + 5^3\) chia hết cho 7:

Ta tính các lũy thừa của 5 theo modulo 7:
- \(5 \equiv 5 \pmod{7}\)
- \(5^2 \equiv 25 \equiv 4 \pmod{7}\)
- \(5^3 \equiv 5 \cdot 5^2 \equiv 5 \cdot 4 \equiv 20 \equiv 6 \pmod{7}\)
- \(5^4 \equiv 5 \cdot 5^3 \equiv 5 \cdot 6 \equiv 30 \equiv 2 \pmod{7}\)
- \(5^5 \equiv 5 \cdot 5^4 \equiv 5 \cdot 2 \equiv 10 \equiv 3 \pmod{7}\)

Vậy:
\[5^5 - 5^4 + 5^3 \equiv 3 - 2 + 6 \equiv 7 \equiv 0 \pmod{7}\]

Do đó, \(5^5 - 5^4 + 5^3\) chia hết cho 7.

b) Chứng minh rằng \(7^6 + 7^5 - 7^4\) chia hết cho 11:

Ta tính các lũy thừa của 7 theo modulo 11:
- \(7 \equiv 7 \pmod{11}\)
- \(7^2 \equiv 49 \equiv 5 \pmod{11}\)
- \(7^3 \equiv 7 \cdot 7^2 \equiv 7 \cdot 5 \equiv 35 \equiv 2 \pmod{11}\)
- \(7^4 \equiv 7 \cdot 7^3 \equiv 7 \cdot 2 \equiv 14 \equiv 3 \pmod{11}\)
- \(7^5 \equiv 7 \cdot 7^4 \equiv 7 \cdot 3 \equiv 21 \equiv 10 \equiv -1 \pmod{11}\)
- \(7^6 \equiv 7 \cdot 7^5 \equiv 7 \cdot (-1) \equiv -7 \equiv 4 \pmod{11}\)

Vậy:
\[7^6 + 7^5 - 7^4 \equiv 4 + (-1) - 3 \equiv 0 \pmod{11}\]

Do đó, \(7^6 + 7^5 - 7^4\) chia hết cho 11.

c) Chứng minh rằng \(24^{54} \cdot 54^{24} \cdot 2^{10}\) chia hết cho \(72^{63}\):

Ta phân tích các số thành thừa số nguyên tố:
- \(24 = 2^3 \cdot 3\)
- \(54 = 2 \cdot 3^3\)
- \(72 = 2^3 \cdot 3^2\)

Ta có:
\[24^{54} = (2^3 \cdot 3)^{54} = 2^{162} \cdot 3^{54}\]
\[54^{24} = (2 \cdot 3^3)^{24} = 2^{24} \cdot 3^{72}\]
\[2^{10} = 2^{10}\]

Tổng hợp lại:
\[24^{54} \cdot 54^{24} \cdot 2^{10} = 2^{162} \cdot 3^{54} \cdot 2^{24} \cdot 3^{72} \cdot 2^{10} = 2^{196} \cdot 3^{126}\]

Ta có:
\[72^{63} = (2^3 \cdot 3^2)^{63} = 2^{189} \cdot 3^{126}\]

Rõ ràng \(2^{196} \cdot 3^{126}\) chia hết cho \(2^{189} \cdot 3^{126}\).

Do đó, \(24^{54} \cdot 54^{24} \cdot 2^{10}\) chia hết cho \(72^{63}\).