Ta có phương trình:
\[ \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{10}{3} \]

Nhân cả hai vế với \( xy \):
\[ x^2 + y^2 = \frac{10}{3}xy \]

Đặt \( t = \frac{x}{y} \), ta có \( x = ty \). Thay vào phương trình trên:
\[ (ty)^2 + y^2 = \frac{10}{3}ty \cdot y \]
\[ t^2y^2 + y^2 = \frac{10}{3}ty^2 \]
\[ y^2(t^2 + 1) = \frac{10}{3}ty^2 \]

Chia cả hai vế cho \( y^2 \) (vì \( y \neq 0 \)):
\[ t^2 + 1 = \frac{10}{3}t \]

Nhân cả hai vế với 3:
\[ 3t^2 + 3 = 10t \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[ 3t^2 - 10t + 3 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
với \( a = 3 \), \( b = -10 \), và \( c = 3 \):
\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} \]
\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \]
\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} \]
\[ t = \frac{10 \pm 8}{6} \]

Do đó, ta có hai nghiệm:
\[ t = \frac{10 + 8}{6} = 3 \]
\[ t = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3} \]

Vì \( y > x > 0 \), nên \( t = \frac{x}{y} < 1 \). Do đó, ta chọn \( t = \frac{1}{3} \).

Khi đó:
\[ \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \]
\[ x = \frac{1}{3}y \]

Tính giá trị của biểu thức \( M \):
\[ M = \frac{x - y}{x + y} \]
\[ M = \frac{\frac{1}{3}y - y}{\frac{1}{3}y + y} \]
\[ M = \frac{\frac{1}{3}y - \frac{3}{3}y}{\frac{1}{3}y + \frac{3}{3}y} \]
\[ M = \frac{\frac{-2}{3}y}{\frac{4}{3}y} \]
\[ M = \frac{-2}{4} \]
\[ M = -\frac{1}{2} \]

Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là \( -\frac{1}{2} \).