Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Hai tia phân giác của A và B cắt nhau tại điểm K nằm trên cạnh đáy DC. Từ K kẻ đoạn thẳng KM vuông góc với AB tại M

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần như sau:

a) Chứng minh tam giác \( \triangle ABK \) là tam giác cân:

- Gọi \( \angle DAK = \angle KAB \) và \( \angle CBK = \angle KBA \) (do \( K \) là giao điểm của hai tia phân giác của \( \angle A \) và \( \angle B \)).
- Vì \( AB \parallel CD \), nên \( \angle DAK = \angle KBA \) và \( \angle KAB = \angle CBK \) (các góc so le trong).
- Do đó, \( \angle KAB = \angle KBA \).

Vậy tam giác \( \triangle ABK \) có hai góc bằng nhau, nên \( \triangle ABK \) là tam giác cân tại \( K \).

b) Chứng minh \( AM = BM \):

- Từ \( K \) kẻ đoạn thẳng \( KM \) vuông góc với \( AB \) tại \( M \).
- Vì \( \triangle ABK \) là tam giác cân tại \( K \), nên \( AK = BK \).
- Do \( KM \) là đường cao từ \( K \) xuống \( AB \), nên \( KM \) cũng là đường trung trực của \( AB \) trong tam giác cân \( \triangle ABK \).
- Do đó, \( M \) là trung điểm của \( AB \).

Vậy \( AM = BM \).