Để giải hệ phương trình này, ta sẽ đặt \(a = x+2\), \(b = y+3\), và \(c = z+4\). Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
ab = 15 \\
bc = 35 \\
ca = 21
\end{cases}
\]

Từ ba phương trình này, ta nhân tất cả lại với nhau:

\[
(ab)(bc)(ca) = 15 \cdot 35 \cdot 21
\]

Ta có:

\[
a^2 b^2 c^2 = 15 \cdot 35 \cdot 21
\]

Lấy căn bậc hai hai vế:

\[
abc = \sqrt{15 \cdot 35 \cdot 21}
\]

Ta tính giá trị của \(15 \cdot 35 \cdot 21\):

\[
15 \cdot 35 = 525
\]
\[
525 \cdot 21 = 11025
\]

Do đó:

\[
abc = \sqrt{11025} = 105
\]

Bây giờ, ta có:

\[
abc = 105
\]

Từ đó, ta có thể tìm các giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\):

\[
a = \frac{105}{bc} = \frac{105}{35} = 3
\]
\[
b = \frac{105}{ac} = \frac{105}{21} = 5
\]
\[
c = \frac{105}{ab} = \frac{105}{15} = 7
\]

Vậy ta có:

\[
a = 3, \quad b = 5, \quad c = 7
\]

Quay lại các biến ban đầu:

\[
x + 2 = a = 3 \implies x = 1
\]
\[
y + 3 = b = 5 \implies y = 2
\]
\[
z + 4 = c = 7 \implies z = 3
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y, z) = (1, 2, 3)
\]