Để giải các hệ phương trình này, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng và trừ các phương trình để tìm giá trị của \(x\) và \(y\).

### Hệ phương trình 1:
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 1 \\
\frac{10}{x+y} + \frac{3}{x-y} = 1
\end{cases}
\]

Đặt \(a = \frac{1}{x+y}\) và \(b = \frac{1}{x-y}\), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2a + b = 1 \\
10a + 3b = 1
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Nhân phương trình đầu tiên với 3:
\[
6a + 3b = 3
\]
2. Trừ phương trình thứ hai cho phương trình vừa nhân:
\[
(10a + 3b) - (6a + 3b) = 1 - 3 \\
4a = -2 \\
a = -\frac{1}{2}
\]

3. Thay \(a = -\frac{1}{2}\) vào phương trình đầu tiên:
\[
2(-\frac{1}{2}) + b = 1 \\
-1 + b = 1 \\
b = 2
\]

Vậy ta có:
\[
\frac{1}{x+y} = -\frac{1}{2} \Rightarrow x+y = -2 \\
\frac{1}{x-y} = 2 \Rightarrow x-y = \frac{1}{2}
\]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = -2 \\
x - y = \frac{1}{2}
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình:
\[
2x = -2 + \frac{1}{2} \\
2x = -\frac{3}{2} \\
x = -\frac{3}{4}
\]

Thay \(x = -\frac{3}{4}\) vào phương trình \(x + y = -2\):
\[
-\frac{3}{4} + y = -2 \\
y = -2 + \frac{3}{4} \\
y = -\frac{5}{4}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình 1 là:
\[
x = -\frac{3}{4}, y = -\frac{5}{4}
\]

### Hệ phương trình 2:
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 3 \\
\frac{1}{x+y} + \frac{3}{x-y} = 1
\end{cases}
\]

Đặt \(a = \frac{1}{x+y}\) và \(b = \frac{1}{x-y}\), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2a + b = 3 \\
a + 3b = 1
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Nhân phương trình thứ hai với 2:
\[
2a + 6b = 2
\]
2. Trừ phương trình thứ hai cho phương trình vừa nhân:
\[
(2a + 6b) - (2a + b) = 2 - 3 \\
5b = -1 \\
b = -\frac{1}{5}
\]

3. Thay \(b = -\frac{1}{5}\) vào phương trình đầu tiên:
\[
2a - \frac{1}{5} = 3 \\
2a = 3 + \frac{1}{5} \\
2a = \frac{16}{5} \\
a = \frac{8}{5}
\]

Vậy ta có:
\[
\frac{1}{x+y} = \frac{8}{5} \Rightarrow x+y = \frac{5}{8} \\
\frac{1}{x-y} = -\frac{1}{5} \Rightarrow x-y = -5
\]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = \frac{5}{8} \\
x - y = -5
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình:
\[
2x = \frac{5}{8} - 5 \\
2x = \frac{5}{8} - \frac{40}{8} \\
2x = -\frac{35}{8} \\
x = -\frac{35}{16}
\]

Thay \(x = -\frac{35}{16}\) vào phương trình \(x + y = \frac{5}{8}\):
\[
-\frac{35}{16} + y = \frac{5}{8} \\
y = \frac{5}{8} + \frac{35}{16} \\
y = \frac{10}{16} + \frac{35}{16} \\
y = \frac{45}{16}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình 2 là:
\[
x = -\frac{35}{16}, y = \frac{45}{16}
\]

### Hệ phương trình 3:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = \frac{5}{8} \\
\frac{1}{x+y} - \frac{1}{x-y} = -\frac{3}{8}
\end{cases}
\]

Đặt \(a = \frac{1}{x+y}\) và \(b = \frac{1}{x-y}\), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
a + b = \frac{5}{8} \\
a - b = -\frac{3}{8}
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Cộng hai phương trình:
\[
2a = \frac{5}{8} - \frac{3}{8} \\
2a = \frac{2}{8} \\
2a = \frac{1}{4} \\
a = \frac{1}{8}
\]

2. Thay \(a = \frac{1}{8}\) vào phương trình đầu tiên:
\[
\frac{1}{8} + b = \frac{5}{8} \\
b = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} \\
b = \frac{4}{8} \\
b = \frac{1}{2}
\]

Vậy ta có:
\[
\frac{1}{x+y} = \frac{1}{8} \Rightarrow x+y = 8 \\
\frac{1}{x-y} = \frac{1}{2} \Rightarrow x-y = 2
\]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = 8 \\
x - y = 2
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình:
\[
2x = 8 + 2 \\
2x = 10 \\
x = 5
\]

Thay \(x = 5\) vào phương trình \(x + y = 8\):
\[
5 + y = 8 \\
y = 3
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình 3 là:
\[
x = 5, y = 3
\]