Để phân tích các đa thức thành nhân tử, ta sẽ sử dụng các phương pháp như nhóm các hạng tử, đặt nhân tử chung, và sử dụng các hằng đẳng thức.

**Câu 4: \( x^3 - x + y^3 - y \)**

Nhóm các hạng tử lại:
\[ x^3 - x + y^3 - y = (x^3 - x) + (y^3 - y) \]

Đặt nhân tử chung:
\[ x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) \]
\[ y^3 - y = y(y^2 - 1) = y(y - 1)(y + 1) \]

Vậy:
\[ x^3 - x + y^3 - y = x(x - 1)(x + 1) + y(y - 1)(y + 1) \]

**Câu 7: \( (3x - 6y)x + y(x - 2y) \)**

Nhóm các hạng tử lại:
\[ (3x - 6y)x + y(x - 2y) \]

Đặt nhân tử chung:
\[ (3x - 6y)x = 3x(x - 2y) \]
\[ y(x - 2y) = y(x - 2y) \]

Vậy:
\[ (3x - 6y)x + y(x - 2y) = 3x(x - 2y) + y(x - 2y) \]
\[ = (3x + y)(x - 2y) \]

**Câu 8: \( x^2 - 6(x + 3) - 9 \)**

Mở rộng và nhóm các hạng tử lại:
\[ x^2 - 6(x + 3) - 9 = x^2 - 6x - 18 - 9 \]
\[ = x^2 - 6x - 27 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \( a = 1 \), \( b = -6 \), và \( c = -27 \):
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2} \]
\[ x = \frac{6 \pm 12}{2} \]
\[ x = 9 \text{ hoặc } x = -3 \]

Vậy:
\[ x^2 - 6x - 27 = (x - 9)(x + 3) \]

Tóm lại:
- Câu 4: \( x^3 - x + y^3 - y = x(x - 1)(x + 1) + y(y - 1)(y + 1) \)
- Câu 7: \( (3x - 6y)x + y(x - 2y) = (3x + y)(x - 2y) \)
- Câu 8: \( x^2 - 6(x + 3) - 9 = (x - 9)(x + 3) \)