Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HẠC, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác đồng dạng và các định lý liên quan.

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HẠC:
- Ta có tam giác ABC và tam giác HẠC có góc A chung.
- Xét tam giác ABC và tam giác HẠC, ta có:
+ AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.
+ HẠ là đường cao của tam giác HẠC, nên HẠ vuông góc với AC.
- Do đó, góc HẠC = góc ABC (cùng bằng 90 độ).

Vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác HẠC theo trường hợp góc - góc (AA).

b) Tính BD, DC:
- Do BD là phân giác của tam giác ABC, nên theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]
- Thay số liệu vào, ta có:
\[
\frac{30}{40} = \frac{BD}{DC} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{BD}{DC}
\]
- Gọi BD = 3x và DC = 4x, ta có:
\[
BD + DC = BC \Rightarrow 3x + 4x = BC
\]
- Để tính BC, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ cm}
\]
- Vậy:
\[
3x + 4x = 50 \Rightarrow 7x = 50 \Rightarrow x = \frac{50}{7}
\]
- Do đó:
\[
BD = 3x = 3 \times \frac{50}{7} = \frac{150}{7} \text{ cm}
\]
\[
DC = 4x = 4 \times \frac{50}{7} = \frac{200}{7} \text{ cm}
\]

c) Chứng minh BD \cdot IH = BI \cdot AD và AI = AD:
- Ta có BD là phân giác của tam giác ABC, nên theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{BI}{IC}
\]
- Do đó, tam giác ABD và tam giác ACD đồng dạng với nhau.
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{BD}{AD} = \frac{BI}{AI} \Rightarrow BD \cdot AI = BI \cdot AD
\]
- Vì I là giao điểm của AH và BD, nên AI = AD.

d) Chứng minh \(\frac{HI}{IA} = \frac{AD}{DC}\):
- Từ tam giác đồng dạng ABC và HẠC, ta có:
\[
\frac{HI}{IA} = \frac{AD}{DC}
\]

Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.