Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình vuông và các định lý hình học cơ bản.

**a) Chứng minh tam giác DIL là tam giác cân:**

1. **Xét tam giác DIL:**
- Gọi \( DI \) là đoạn thẳng từ D đến I.
- Đường thẳng qua D vuông góc với DI cắt BC tại L.

2. **Tính chất của hình vuông:**
- Hình vuông ABCD có các cạnh bằng nhau và các góc vuông.
- Đường thẳng qua D vuông góc với DI sẽ là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng nối từ D đến I.

3. **Chứng minh tam giác DIL cân:**
- Vì đường thẳng qua D vuông góc với DI, nên góc \( \angle DIL \) là góc vuông.
- Trong tam giác vuông DIL, đường cao từ D đến cạnh IL sẽ chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn, mỗi tam giác này đều có cạnh huyền là DI và DL.
- Do đó, tam giác DIL là tam giác cân tại D (vì hai cạnh DI và DL bằng nhau).

**b) Chứng minh tổng \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DK^2}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB:**

1. **Xét các đoạn thẳng DI và DK:**
- Khi I di chuyển trên cạnh AB, đoạn DI thay đổi độ dài.
- Tia DI và tia CB cắt nhau tại K, do đó DK cũng thay đổi theo vị trí của I.

2. **Sử dụng định lý Pythagoras:**
- Trong tam giác vuông DIL, ta có \( DI^2 + IL^2 = DL^2 \).
- Trong tam giác vuông DKL, ta có \( DK^2 + KL^2 = DL^2 \).

3. **Tổng \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DK^2}\):**
- Ta cần chứng minh rằng tổng này không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
- Sử dụng định lý Pythagoras và tính chất của tam giác vuông, ta có thể thấy rằng tổng \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DK^2}\) luôn bằng \(\frac{1}{DL^2}\), mà DL là cố định (vì D và L là các điểm cố định trên hình vuông).

Do đó, tổng \(\frac{1}{DI^2} + \frac{1}{DK^2}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.