Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

a) So sánh diện tích tam giác ABE với diện tích tam giác ABC.

Vì D là điểm chính giữa của AB, nên AD = DB. Do đó, diện tích tam giác ABD bằng một nửa diện tích tam giác ABC.

Gọi diện tích tam giác ABC là S. Vì CE = \(\frac{1}{3}\) BE, nên BE = 3CE. Do đó, diện tích tam giác BCE bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác ABC (vì chiều cao từ C xuống AB không đổi, chỉ có độ dài cạnh BC giảm đi 4 lần).

Diện tích tam giác ABE = diện tích tam giác ABC - diện tích tam giác BCE = S - \(\frac{S}{4}\) = \(\frac{3S}{4}\).

b) Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác BDE là 12 cm².

Vì D là điểm chính giữa của AB, nên diện tích tam giác ABD bằng một nửa diện tích tam giác ABC. Gọi diện tích tam giác ABC là S, ta có diện tích tam giác ABD = \(\frac{S}{2}\).

Vì CE = \(\frac{1}{3}\) BE, nên diện tích tam giác BDE bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác ABD (vì chiều cao từ D xuống BE không đổi, chỉ có độ dài cạnh BE giảm đi 4 lần).

Do đó, diện tích tam giác BDE = \(\frac{1}{4}\) \(\times\) \(\frac{S}{2}\) = \(\frac{S}{8}\).

Theo đề bài, diện tích tam giác BDE là 12 cm², nên ta có:

\(\frac{S}{8}\) = 12

S = 12 \(\times\) 8 = 96 cm².

Vậy diện tích tam giác ABC là 96 cm².

c) Tính diện tích tứ giác ACED.

Diện tích tứ giác ACED = diện tích tam giác ABC - diện tích tam giác BCE.

Diện tích tam giác BCE = \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác ABC = \(\frac{1}{4}\) \(\times\) 96 = 24 cm².

Do đó, diện tích tứ giác ACED = 96 - 24 = 72 cm².

Vậy diện tích tứ giác ACED là 72 cm².