Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tỉ lệ các đoạn thẳng.

**Bài 3A:**

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC (H thuộc BC). Biết AB:AC = 3:4 và BC = 15 cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH và HC:

1. Gọi AB = 3k và AC = 4k (vì AB:AC = 3:4).
2. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
15^2 = (3k)^2 + (4k)^2
\]
\[
225 = 9k^2 + 16k^2
\]
\[
225 = 25k^2
\]
\[
k^2 = 9
\]
\[
k = 3
\]

3. Từ đó, ta có:
\[
AB = 3k = 3 \times 3 = 9 \text{ cm}
\]
\[
AC = 4k = 4 \times 3 = 12 \text{ cm}
\]

4. Vì AH là đường cao từ A xuống BC, ta có:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{9^2}{15} = \frac{81}{15} = 5.4 \text{ cm}
\]
\[
HC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{12^2}{15} = \frac{144}{15} = 9.6 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài các đoạn thẳng BH và HC lần lượt là 5.4 cm và 9.6 cm.

b) Kẻ phân giác AD (D thuộc BC). Tính độ dài đoạn thẳng HD:

1. Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}
\]

2. Gọi BD = 3x và DC = 4x. Ta có:
\[
BD + DC = BC
\]
\[
3x + 4x = 15
\]
\[
7x = 15
\]
\[
x = \frac{15}{7}
\]

3. Từ đó, ta có:
\[
BD = 3x = 3 \times \frac{15}{7} = \frac{45}{7} \text{ cm}
\]
\[
DC = 4x = 4 \times \frac{15}{7} = \frac{60}{7} \text{ cm}
\]

4. Để tính độ dài đoạn thẳng HD, ta sử dụng công thức:
\[
HD = \frac{AB \times DC}{AB + AC} = \frac{9 \times \frac{60}{7}}{9 + 12} = \frac{540}{7 \times 21} = \frac{540}{147} = \frac{180}{49} \approx 3.67 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài đoạn thẳng HD là khoảng 3.67 cm.