Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a, b, và c.

**Phần a: Chứng minh tam giác DEM = tam giác DFM**

Ta có tam giác DEF cân tại D, nên DE = DF.

Gọi M là trung điểm của EF, nên EM = MF.

Xét hai tam giác DEM và DFM:
- DE = DF (tam giác DEF cân tại D)
- EM = MF (M là trung điểm của EF)
- DM là cạnh chung

Do đó, theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có:
\[ \triangle DEM = \triangle DFM \]

**Phần b: Qua M kẻ MH, MK lần lượt vuông góc với DE, DF (H thuộc DE, K thuộc DF). Chứng minh MH = MK**

Vì tam giác DEM = tam giác DFM (đã chứng minh ở phần a), nên các góc tương ứng bằng nhau:
\[ \angle DEM = \angle DFM \]

Do đó, các tam giác vuông DMH và DMK có:
- DM là cạnh chung
- \(\angle DMH = \angle DMK = 90^\circ\)

Vì tam giác DEM = tam giác DFM, nên:
\[ \angle MDE = \angle MDF \]

Do đó, hai tam giác vuông DMH và DMK có:
- DM là cạnh chung
- \(\angle DMH = \angle DMK = 90^\circ\)
- \(\angle MDE = \angle MDF\)

Theo định lý cạnh-góc-cạnh (C-G-C), ta có:
\[ \triangle DMH = \triangle DMK \]

Do đó:
\[ MH = MK \]

**Phần c: Gọi I là giao điểm của HM và DF. Gọi J là giao điểm của KM và DE. Chứng minh tam giác DIJ cân và IJ // EF**

Xét tam giác DMH và DMK:
- DM là cạnh chung
- \(\angle DMH = \angle DMK = 90^\circ\)
- MH = MK (đã chứng minh ở phần b)

Do đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh (C-G-C), ta có:
\[ \triangle DMH = \triangle DMK \]

Do đó, các góc tương ứng bằng nhau:
\[ \angle DHM = \angle DKM \]

Gọi I là giao điểm của HM và DF, J là giao điểm của KM và DE.

Xét tam giác DIJ:
- \(\angle DHM = \angle DKM\)
- DM là cạnh chung

Do đó, tam giác DIJ cân tại D.

Vì \(\angle DHM = \angle DKM\), nên IJ song song với EF (vì hai đường thẳng song song tạo với một đường thẳng khác các góc tương ứng bằng nhau).

Vậy ta đã chứng minh được tam giác DIJ cân và IJ // EF.