Để giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo tham số \( m \), ta thực hiện các bước sau:

Hệ phương trình đã cho:
\[ \begin{cases}
2mx + y = 2 \quad \text{(1)} \\
8x + my = m + 2 \quad \text{(2)}
\end{cases} \]

**1. Giải và biện luận hệ phương trình theo \( m \):**

Trước hết, ta nhân phương trình (1) với \( m \) để dễ dàng loại bỏ \( y \):
\[ m(2mx + y) = 2m \]
\[ 2m^2x + my = 2m \quad \text{(3)} \]

Trừ phương trình (2) cho phương trình (3):
\[ 8x + my - (2m^2x + my) = m + 2 - 2m \]
\[ 8x - 2m^2x = m + 2 - 2m \]
\[ x(8 - 2m^2) = m + 2 - 2m \]
\[ x(8 - 2m^2) = -m + 2 \]
\[ x = \frac{-m + 2}{8 - 2m^2} \quad \text{(4)} \]

Thay \( x \) từ (4) vào phương trình (1):
\[ 2m \left( \frac{-m + 2}{8 - 2m^2} \right) + y = 2 \]
\[ \frac{2m(-m + 2)}{8 - 2m^2} + y = 2 \]
\[ \frac{-2m^2 + 4m}{8 - 2m^2} + y = 2 \]
\[ y = 2 - \frac{-2m^2 + 4m}{8 - 2m^2} \]
\[ y = 2 + \frac{2m^2 - 4m}{8 - 2m^2} \]
\[ y = 2 + \frac{2m(m - 2)}{8 - 2m^2} \]
\[ y = 2 + \frac{m(m - 2)}{4 - m^2} \quad \text{(5)} \]

**Biện luận:**

- Nếu \( 8 - 2m^2 \neq 0 \) (tức là \( m^2 \neq 4 \)), hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
\[ x = \frac{-m + 2}{8 - 2m^2} \]
\[ y = 2 + \frac{m(m - 2)}{4 - m^2} \]

- Nếu \( 8 - 2m^2 = 0 \) (tức là \( m^2 = 4 \)), ta có \( m = 2 \) hoặc \( m = -2 \):
- Với \( m = 2 \):
\[ 2(2)x + y = 2 \]
\[ 4x + y = 2 \quad \text{(6)} \]
\[ 8x + 2y = 4 \quad \text{(7)} \]
Phương trình (6) và (7) là tương đương, nên hệ có vô số nghiệm.
- Với \( m = -2 \):
\[ 2(-2)x + y = 2 \]
\[ -4x + y = 2 \quad \text{(8)} \]
\[ 8x - 2y = 0 \quad \text{(9)} \]
Giải hệ (8) và (9):
\[ -4x + y = 2 \]
\[ 8x - 2y = 0 \]
\[ 8x - 2y = 0 \]
\[ y = 4x - 2 \]
Hệ có nghiệm duy nhất.

**2. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y):**

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa \( x \) và \( y \) không phụ thuộc vào \( m \):
Từ phương trình (1):
\[ 2mx + y = 2 \]
\[ y = 2 - 2mx \]

b) Tìm giá trị của \( m \) để \( 4x + 3y = 7 \):
Thay \( y = 2 - 2mx \) vào \( 4x + 3y = 7 \):
\[ 4x + 3(2 - 2mx) = 7 \]
\[ 4x + 6 - 6mx = 7 \]
\[ 4x - 6mx = 1 \]
\[ x(4 - 6m) = 1 \]
\[ x = \frac{1}{4 - 6m} \]

Thay \( x = \frac{1}{4 - 6m} \) vào \( y = 2 - 2mx \):
\[ y = 2 - 2m \left( \frac{1}{4 - 6m} \right) \]
\[ y = 2 - \frac{2m}{4 - 6m} \]

Để \( 4x + 3y = 7 \), ta cần giải phương trình:
\[ 4 \left( \frac{1}{4 - 6m} \right) + 3 \left( 2 - \frac{2m}{4 - 6m} \right) = 7 \]
\[ \frac{4}{4 - 6m} + 6 - \frac{6m}{4 - 6m} = 7 \]
\[ \frac{4 - 6m + 6(4 - 6m)}{4 - 6m} = 7 \]
\[ \frac{4 - 6m + 24 - 36m}{4 - 6m} = 7 \]
\[ \frac{28 - 42m}{4 - 6m} = 7 \]
\[ 28 - 42m = 7(4 - 6m) \]
\[ 28 - 42m = 28 - 42m \]

Phương trình này luôn đúng với mọi \( m \neq \frac{2}{3} \).

Vậy giá trị của \( m \) để \( 4x + 3y = 7 \) là \( m \neq \frac{2}{3} \).