Chứng minh các công thức sau:

Để chứng minh các công thức lượng giác trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các tính chất của tam giác vuông.

1. Chứng minh công thức \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \):

Theo công thức nhân đôi của sin:
\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

Vậy công thức này đã được chứng minh.

2. Chứng minh công thức \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \):

Theo công thức nhân đôi của cos:
\[ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \]

Ta có:
\[ 1 + \cos 2\alpha = 1 + (2 \cos^2 \alpha - 1) = 2 \cos^2 \alpha \]

Vậy công thức này đã được chứng minh.

3. Chứng minh công thức \( \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \):

Theo công thức nhân đôi của tan:
\[ \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \]

Vậy công thức này đã được chứng minh.

Tóm lại, cả ba công thức đã được chứng minh bằng cách sử dụng các công thức lượng giác cơ bản.