Để tính tổng của các phân số \( \frac{2}{3} + \frac{2}{15} + \frac{2}{35} + \frac{2}{63} \), chúng ta cần tìm mẫu số chung của các phân số này. Mẫu số chung là bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu số 3, 15, 35 và 63.

Trước hết, chúng ta phân tích các mẫu số thành các thừa số nguyên tố:
- \( 3 = 3 \)
- \( 15 = 3 \times 5 \)
- \( 35 = 5 \times 7 \)
- \( 63 = 3^2 \times 7 \)

BCNN của 3, 15, 35 và 63 là \( 3^2 \times 5 \times 7 = 315 \).

Bây giờ, chúng ta quy đồng các phân số về mẫu số chung là 315:
- \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 105}{3 \times 105} = \frac{210}{315} \)
- \( \frac{2}{15} = \frac{2 \times 21}{15 \times 21} = \frac{42}{315} \)
- \( \frac{2}{35} = \frac{2 \times 9}{35 \times 9} = \frac{18}{315} \)
- \( \frac{2}{63} = \frac{2 \times 5}{63 \times 5} = \frac{10}{315} \)

Bây giờ, chúng ta cộng các phân số đã quy đồng:
\[ \frac{210}{315} + \frac{42}{315} + \frac{18}{315} + \frac{10}{315} = \frac{210 + 42 + 18 + 10}{315} = \frac{280}{315} \]

Cuối cùng, chúng ta rút gọn phân số \( \frac{280}{315} \). Ta thấy rằng 280 và 315 có ước chung lớn nhất là 35:
\[ \frac{280 \div 35}{315 \div 35} = \frac{8}{9} \]

Vậy, tổng của các phân số \( \frac{2}{3} + \frac{2}{15} + \frac{2}{35} + \frac{2}{63} \) là \( \frac{8}{9} \).