Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp lập phương trình.

Giả sử đội I hoàn thành công việc trong \( x \) ngày, đội II hoàn thành công việc trong \( y \) ngày. Theo đề bài, ta có các thông tin sau:

1. Nếu hai đội làm chung thì hoàn thành sau 12 ngày.
2. Đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 10 ngày, tức là \( x = y + 10 \).

Ta có thể lập phương trình dựa trên năng suất làm việc của hai đội. Năng suất làm việc của đội I là \( \frac{1}{x} \) công việc/ngày và của đội II là \( \frac{1}{y} \) công việc/ngày. Khi hai đội làm chung, năng suất làm việc của họ là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) công việc/ngày.

Theo đề bài, khi hai đội làm chung thì hoàn thành công việc sau 12 ngày, tức là:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \]

Thay \( x = y + 10 \) vào phương trình trên:

\[ \frac{1}{y + 10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \]

Giải phương trình này:

\[ \frac{y + y + 10}{y(y + 10)} = \frac{1}{12} \]

\[ \frac{2y + 10}{y^2 + 10y} = \frac{1}{12} \]

Nhân cả hai vế với \( 12(y^2 + 10y) \):

\[ 12(2y + 10) = y^2 + 10y \]

\[ 24y + 120 = y^2 + 10y \]

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:

\[ y^2 - 14y - 120 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Với \( a = 1 \), \( b = -14 \), và \( c = -120 \):

\[ y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 480}}{2} \]

\[ y = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2} \]

\[ y = \frac{14 \pm 26}{2} \]

Ta có hai nghiệm:

\[ y = \frac{14 + 26}{2} = 20 \]

\[ y = \frac{14 - 26}{2} = -6 \] (loại vì không hợp lý)

Vậy \( y = 20 \). Từ đó, \( x = y + 10 = 30 \).

Kết luận:
- Đội I hoàn thành công việc trong 30 ngày.
- Đội II hoàn thành công việc trong 20 ngày.