Để tìm số nguyên \( n \) sao cho \( n + 5 \) chia hết cho \( n - 2 \), ta có thể biểu diễn điều kiện này dưới dạng phương trình:

\[ n + 5 = k(n - 2) \]

với \( k \) là một số nguyên. Ta sẽ giải phương trình này để tìm \( n \).

Bắt đầu bằng cách phân tích phương trình:

\[ n + 5 = k(n - 2) \]

Mở rộng vế phải:

\[ n + 5 = kn - 2k \]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( n \) về một vế và các hạng tử còn lại về vế kia:

\[ n - kn = -2k - 5 \]

Lấy \( n \) làm nhân tử chung:

\[ n(1 - k) = -2k - 5 \]

Giải phương trình này cho \( n \):

\[ n = \frac{-2k - 5}{1 - k} \]

Để \( n \) là một số nguyên, biểu thức \(\frac{-2k - 5}{1 - k}\) phải là một số nguyên. Ta sẽ thử một số giá trị của \( k \) để tìm các giá trị nguyên của \( n \).

1. Nếu \( k = 1 \):

\[ n = \frac{-2(1) - 5}{1 - 1} \]

Điều này không xác định vì mẫu số bằng 0.

2. Nếu \( k = 2 \):

\[ n = \frac{-2(2) - 5}{1 - 2} = \frac{-4 - 5}{-1} = \frac{-9}{-1} = 9 \]

Vậy \( n = 9 \) là một giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện.

3. Nếu \( k = 0 \):

\[ n = \frac{-2(0) - 5}{1 - 0} = \frac{-5}{1} = -5 \]

Vậy \( n = -5 \) cũng là một giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện.

4. Nếu \( k = -1 \):

\[ n = \frac{-2(-1) - 5}{1 - (-1)} = \frac{2 - 5}{2} = \frac{-3}{2} \]

Điều này không phải là một số nguyên.

Từ các giá trị \( k \) đã thử, ta tìm được hai giá trị nguyên của \( n \) là \( n = 9 \) và \( n = -5 \).

Vậy, các số nguyên \( n \) sao cho \( n + 5 \) chia hết cho \( n - 2 \) là \( n = 9 \) và \( n = -5 \).