### Ví dụ 1:
Cho hai tập hợp \( A = (-7, 3) \) và \( B = (-4, 5) \).

- **Giao của A và B** (\( A \cap B \)):
Giao của hai tập hợp là phần chung của cả hai tập hợp. Ta thấy rằng đoạn chung của \( A \) và \( B \) là từ \(-4\) đến \(3\).

\[
A \cap B = (-4, 3)
\]

- **Hợp của A và B** (\( A \cup B \)):
Hợp của hai tập hợp là tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp. Ta thấy rằng đoạn bao phủ cả hai tập hợp là từ \(-7\) đến \(5\).

\[
A \cup B = (-7, 5)
\]

### Ví dụ 2:
Cho số thực \( a < 0 \). Tìm \( a \) để \( (-\infty, 9a) \cap \left( \frac{4}{a}, +\infty \right) \neq \emptyset \).

Để giao của hai khoảng này khác rỗng, cần có sự giao nhau giữa hai khoảng. Điều này xảy ra khi \( 9a < \frac{4}{a} \).

Giải bất phương trình:

\[
9a < \frac{4}{a}
\]

Nhân cả hai vế với \( a \) (lưu ý \( a < 0 \) nên đổi chiều bất phương trình):

\[
9a^2 > 4
\]

\[
a^2 > \frac{4}{9}
\]

\[
|a| > \frac{2}{3}
\]

Vì \( a < 0 \), nên \( a < -\frac{2}{3} \).

Vậy \( a \) cần thỏa mãn \( a < -\frac{2}{3} \).