Để chứng minh các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của số học và các định lý liên quan đến số mũ.

### Phần a) Chứng minh A chia hết cho 3

Cho \( A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2009} + 2^{2010} \).

Ta có thể sử dụng tính chất của dãy số hình học để tính tổng của dãy này. Tổng của dãy số hình học có dạng:

\[ S = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^n \]

Trong trường hợp này, \( a = 2^1 \), \( r = 2 \), và số hạng cuối cùng là \( 2^{2010} \). Tổng của dãy số này là:

\[ A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2010} \]

Dùng công thức tổng của dãy số hình học:

\[ A = 2 \left( \frac{2^{2010} - 1}{2 - 1} \right) = 2 (2^{2010} - 1) = 2^{2011} - 2 \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( 2^{2011} - 2 \) chia hết cho 3.

Ta xét \( 2^{2011} \mod 3 \):

- \( 2 \equiv -1 \mod 3 \)
- \( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \)
- \( 2^3 \equiv 2 \mod 3 \)
- \( 2^4 \equiv 1 \mod 3 \)

Nhận thấy rằng \( 2^n \mod 3 \) có chu kỳ là 2. Do đó:

\[ 2^{2011} \equiv 2 \mod 3 \]

Vậy:

\[ 2^{2011} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 3 \]

Điều này chứng tỏ rằng \( 2^{2011} - 2 \) chia hết cho 3, tức là \( A \) chia hết cho 3.

### Phần b) Chứng minh B chia hết cho 7

Cho \( B = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2008} + 2^{2009} + 2^{2010} \).

Ta cũng sử dụng công thức tổng của dãy số hình học:

\[ B = 2 \left( \frac{2^{2010} - 1}{2 - 1} \right) = 2 (2^{2010} - 1) = 2^{2011} - 2 \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( 2^{2011} - 2 \) chia hết cho 7.

Ta xét \( 2^{2011} \mod 7 \):

- \( 2^1 \equiv 2 \mod 7 \)
- \( 2^2 \equiv 4 \mod 7 \)
- \( 2^3 \equiv 8 \equiv 1 \mod 7 \)

Nhận thấy rằng \( 2^3 \equiv 1 \mod 7 \). Do đó, \( 2^{3k} \equiv 1 \mod 7 \) với mọi \( k \).

Ta có thể viết \( 2011 = 3 \times 670 + 1 \), do đó:

\[ 2^{2011} = 2^{3 \times 670 + 1} = (2^3)^{670} \times 2^1 \equiv 1^{670} \times 2 \equiv 2 \mod 7 \]

Vậy:

\[ 2^{2011} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 7 \]

Điều này chứng tỏ rằng \( 2^{2011} - 2 \) chia hết cho 7, tức là \( B \) chia hết cho 7.

Kết luận:

a) \( A \) chia hết cho 3.

b) \( B \) chia hết cho 7.