Để chứng minh các đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khai triển bình phương của một tổng.

### a) Chứng minh đẳng thức \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)

Khai triển bình phương của tổng \(a + b + c\):

\[
(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)
\]

Áp dụng phân phối:

\[
= a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c)
\]

Tiếp tục phân phối:

\[
= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2
\]

Nhóm các hạng tử giống nhau lại:

\[
= a^2 + b^2 + c^2 + ab + ba + ac + ca + bc + cb
\]

Vì \(ab = ba\), \(ac = ca\), và \(bc = cb\), ta có:

\[
= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
\]

Vậy ta đã chứng minh được:

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca
\]

### b) Chứng minh đẳng thức \((a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca\)

Khai triển bình phương của tổng \(a - b + c\):

\[
(a - b + c)^2 = (a - b + c)(a - b + c)
\]

Áp dụng phân phối:

\[
= a(a - b + c) - b(a - b + c) + c(a - b + c)
\]

Tiếp tục phân phối:

\[
= a^2 - ab + ac - ba + b^2 - bc + ca - cb + c^2
\]

Nhóm các hạng tử giống nhau lại:

\[
= a^2 + b^2 + c^2 - ab - ba + ac + ca - bc - cb
\]

Vì \(ab = ba\), \(ac = ca\), và \(bc = cb\), ta có:

\[
= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc
\]

Vậy ta đã chứng minh được:

\[
(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca
\]

Như vậy, cả hai đẳng thức đã được chứng minh.