Dưới đây là các bài toán và hướng dẫn chứng minh cho từng bài:

**Bài 21:**
Cho tam giác \(ABC\) có ba đường cao \(AF\), \(BD\), \(CE\). Chứng minh rằng:
\[ S_{ADE} + S_{BEF} + S_{CFD} = S_{ABC} \cdot ( \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C ) \]

**Chứng minh:**
1. Gọi \(S_{ABC}\) là diện tích tam giác \(ABC\).
2. Diện tích của các tam giác nhỏ \(ADE\), \(BEF\), \(CFD\) có thể được tính bằng cách sử dụng các đường cao và các góc.
3. Sử dụng công thức diện tích tam giác và các tính chất của tam giác vuông, ta có thể chứng minh đẳng thức trên.

**Bài 22:**
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\). Chứng minh:
\[ \sin \frac{\hat{A}}{2} \leq \frac{a}{b + c} \]

**Chứng minh:**
1. Sử dụng công thức nửa góc trong tam giác:
\[ \sin \frac{\hat{A}}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} \]
với \(s\) là nửa chu vi tam giác.
2. Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các tính chất của hàm số lượng giác để chứng minh bất đẳng thức trên.

**Bài 23:**
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), đáy \(BC = 2a\), cạnh bên bằng \(b (b > a)\). Kẻ \(BK \perp AC\). Tính tỷ số:
\[ \frac{AK}{AC} \]

**Chứng minh:**
1. Sử dụng tính chất của tam giác cân và tam giác vuông.
2. Tính độ dài các đoạn thẳng dựa trên các định lý Pythagore và các tính chất hình học.
3. Từ đó, tính tỷ số \(\frac{AK}{AC}\).

**Bài 24:**
Cho tam giác \(ABC\), các cạnh \(BC\), \(AC\), \(AB\) đối diện với các đỉnh \(A\), \(B\), \(C\) có độ dài tương ứng là: \(a\), \(b\), \(c\). Chứng minh:
\[ S_{ABC} \leq \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4\sqrt{3}} \]

**Chứng minh:**
1. Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác.
2. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và các bất đẳng thức tam giác để chứng minh đẳng thức trên.

**Bài 25:**
Cho tam giác nhọn \(ABC\), đường cao \(CK\); \(H\) là trực tâm của tam giác. Gọi \(M\) là một điểm trên \(CK\) sao cho \(\angle AMB = 90^\circ\). \(S_1, S_2, S_3\) theo thứ tự là diện tích các tam giác \(AMB\), \(ABC\) và \(ABH\). Chứng minh:
\[ MK^2 = CK \cdot HK \]
từ đó suy ra:
\[ S_1^2 = S_2 \cdot S_3 \]

**Chứng minh:**
1. Sử dụng các tính chất của tam giác vuông và trực tâm.
2. Sử dụng các công thức diện tích tam giác và các tính chất hình học để chứng minh đẳng thức trên.

**Bài 26:**
Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(HD:HA = 1:k\). Chứng minh rằng:
\[ \tan B \cdot \tan C = k + 1 \]

**Chứng minh:**
1. Sử dụng các tính chất của tam giác vuông và trực tâm.
2. Sử dụng các công thức lượng giác và các tính chất hình học để chứng minh đẳng thức trên.