Để chứng minh phương trình \( f(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, ta cần chứng minh rằng phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi biệt thức của phương trình, \(\Delta\), lớn hơn 0. Biệt thức \(\Delta\) được tính như sau:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Chúng ta cần chứng minh rằng \(\Delta > 0\).

Theo giả thiết, tồn tại hai số \( m \) và \( n \) sao cho \( f(m) \cdot f(n) < 0 \). Điều này có nghĩa là giá trị của hàm số \( f(x) \) tại \( m \) và \( n \) có dấu trái ngược nhau. Do đó, một trong hai giá trị \( f(m) \) và \( f(n) \) phải dương và giá trị còn lại phải âm.

Xét hàm số \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Vì \( f(m) \cdot f(n) < 0 \), điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số \( f(x) \) (một parabol) phải cắt trục hoành tại ít nhất hai điểm khác nhau. Điều này chỉ xảy ra khi phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm thực phân biệt.

Để phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm thực phân biệt, điều kiện cần và đủ là biệt thức \(\Delta\) phải lớn hơn 0:

\[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \]

Vậy, từ giả thiết \( f(m) \cdot f(n) < 0 \), ta suy ra rằng phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm phân biệt.