Cho biểu thức \( M = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} + \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} + \frac{x^2 - 2x + 1}{2} \).

Thực hiện các yêu cầu sau:

1. **Tìm \( x \) để \( M \) tồn tại**:
- Điều kiện để \( M \) tồn tại là các mẫu số khác 0 và các biểu thức dưới căn phải không âm.
- \( x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \)
- \( x + 2\sqrt{x} + 1 \neq 0 \Rightarrow (\sqrt{x} + 1)^2 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq -1 \) (luôn đúng vì \( \sqrt{x} \geq 0 \))
- \( \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow x \geq 0 \)

Vậy điều kiện để \( M \) tồn tại là \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \).

2. **Rút gọn \( M \)**:
- Ta có: \( \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \)
- \( \frac{x^2 - 2x + 1}{2} = \frac{(x - 1)^2}{2} \)

Vậy \( M = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{(x - 1)^2}{2} \).

3. **Chứng minh nếu \( 0 < x < 1 \) thì \( M > 0 \)**:
- Khi \( 0 < x < 1 \), ta có \( \sqrt{x} < 1 \) và \( x - 1 < 0 \).
- \( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} \) là một số dương vì tử số âm và mẫu số âm.
- \( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \) là một số dương vì mẫu số dương.
- \( \frac{(x - 1)^2}{2} \) là một số dương vì bình phương của một số luôn không âm.

Vậy \( M > 0 \).

4. **Tính giá trị của biểu thức \( M \) khi \( x = \frac{4}{25} \)**:
- \( \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} \)
- \( M = \frac{\frac{2}{5} - 2}{\frac{4}{25} - 1} + \frac{1}{\frac{2}{5} + 1} + \frac{(\frac{4}{25} - 1)^2}{2} \)
- \( M = \frac{\frac{2}{5} - \frac{10}{5}}{\frac{4}{25} - \frac{25}{25}} + \frac{1}{\frac{2}{5} + \frac{5}{5}} + \frac{(\frac{4}{25} - \frac{25}{25})^2}{2} \)
- \( M = \frac{\frac{-8}{5}}{\frac{-21}{25}} + \frac{1}{\frac{7}{5}} + \frac{(\frac{-21}{25})^2}{2} \)
- \( M = \frac{-8}{5} \cdot \frac{25}{-21} + \frac{5}{7} + \frac{\frac{441}{625}}{2} \)
- \( M = \frac{40}{21} + \frac{5}{7} + \frac{441}{1250} \)
- \( M = \frac{40}{21} + \frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{441}{1250} \)
- \( M = \frac{40}{21} + \frac{15}{21} + \frac{441}{1250} \)
- \( M = \frac{55}{21} + \frac{441}{1250} \)

Tính tiếp giá trị cụ thể của \( M \).

5. **Tìm giá trị của \( x \) để giá trị biểu thức \( M \) bằng -1**:
- Giải phương trình \( M = -1 \).

6. **Tìm giá trị của \( x \) để giá trị biểu thức \( M \) âm; \( M \) dương**:
- Giải bất phương trình \( M < 0 \) và \( M > 0 \).

7. **Tìm giá trị của \( x \) để giá trị biểu thức \( M \) lớn hơn -2**:
- Giải bất phương trình \( M > -2 \).

8. **Tìm giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( M \) nhận giá trị nguyên**:
- Tìm \( x \) nguyên sao cho \( M \) là số nguyên.

9. **Tìm giá trị của \( x \) để giá trị biểu thức \( M \) lớn nhất**:
- Tìm giá trị lớn nhất của \( M \).

10. **Tìm \( x \) để \( M \) nhỏ hơn -2\( x \); \( M \) lớn hơn 24\( x \)**:
- Giải bất phương trình \( M < -2x \) và \( M > 24x \).

11. **Tìm \( x \) để \( M \) lớn hơn 24**:
- Giải bất phương trình \( M > 24 \).

Lưu ý: Các bước trên chỉ là hướng dẫn chung, cần tính toán cụ thể để tìm ra kết quả chính xác.