Để hàm số \( y = mx^3 + 3mx^2 - (m-1)x - 1 \) có cực trị, ta cần tìm điều kiện của tham số \( m \).

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
\[ y' = 3mx^2 + 6mx - (m-1) \]

Bước 2: Để hàm số có cực trị, phương trình \( y' = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt. Do đó, phương trình:
\[ 3mx^2 + 6mx - (m-1) = 0 \]
phải có hai nghiệm phân biệt.

Bước 3: Xét phương trình bậc hai:
\[ 3mx^2 + 6mx - (m-1) = 0 \]

Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là:
\[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \]

Trong đó:
\[ a = 3m, \quad b = 6m, \quad c = -(m-1) \]

Tính \(\Delta\):
\[ \Delta = (6m)^2 - 4 \cdot 3m \cdot (-(m-1)) \]
\[ \Delta = 36m^2 + 12m(m-1) \]
\[ \Delta = 36m^2 + 12m^2 - 12m \]
\[ \Delta = 48m^2 - 12m \]

Để \(\Delta > 0\):
\[ 48m^2 - 12m > 0 \]
\[ 12m(4m - 1) > 0 \]

Xét dấu của biểu thức \( 12m(4m - 1) \):
- \( 12m > 0 \) khi \( m > 0 \)
- \( 4m - 1 > 0 \) khi \( m > \frac{1}{4} \)

Kết hợp hai điều kiện trên:
\[ m > \frac{1}{4} \]

Do \( m \in [-2020; 2020) \), nên các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn \( m > \frac{1}{4} \) là:
\[ m \in \{1, 2, 3, \ldots, 2019\} \]

Số giá trị nguyên của \( m \) là:
\[ 2019 - 1 + 1 = 2019 \]

Vậy đáp án đúng là:
\[ \boxed{2019} \]