Để giải bài toán này, ta cần xác định quãng đường mà vật dao động điều hòa đã đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm \( t = \frac{43}{12} \) giây.

Phương trình dao động điều hòa của vật là:
\[ x = 4 \cos \left( 4\pi t + \frac{\pi}{3} \right) \]

1. **Chu kỳ dao động:**
Chu kỳ \( T \) của dao động điều hòa được tính bằng công thức:
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]
Trong đó, \( \omega \) là tần số góc. Từ phương trình dao động, ta có \( \omega = 4\pi \).
\[ T = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2} \text{ giây} \]

2. **Số chu kỳ dao động:**
Thời gian \( t = \frac{43}{12} \) giây.
Số chu kỳ dao động \( n \) là:
\[ n = \frac{t}{T} = \frac{\frac{43}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{43}{12} \times 2 = \frac{43}{6} \approx 7.1667 \]

Vậy vật đã dao động được 7 chu kỳ hoàn chỉnh và một phần của chu kỳ thứ 8.

3. **Quãng đường đi được trong 7 chu kỳ hoàn chỉnh:**
Trong một chu kỳ, vật đi được quãng đường bằng 4 lần biên độ (vì vật đi từ vị trí cân bằng đến biên độ dương, quay lại vị trí cân bằng, đến biên độ âm và quay lại vị trí cân bằng).
Biên độ dao động \( A = 4 \) cm.
Quãng đường đi được trong 1 chu kỳ là \( 4A = 4 \times 4 = 16 \) cm.
Quãng đường đi được trong 7 chu kỳ là:
\[ 7 \times 16 = 112 \text{ cm} \]

4. **Quãng đường đi được trong phần còn lại của chu kỳ thứ 8:**
Phần còn lại của chu kỳ thứ 8 là \( 0.1667 \) chu kỳ.
Trong một chu kỳ, vật đi được quãng đường 16 cm. Vậy trong \( 0.1667 \) chu kỳ, vật đi được quãng đường:
\[ 0.1667 \times 16 = 2.6672 \text{ cm} \]

5. **Tổng quãng đường:**
Tổng quãng đường vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm \( t = \frac{43}{12} \) giây là:
\[ 112 + 2.6672 = 114.6672 \text{ cm} \]

Vậy quãng đường vật đi được là khoảng 114.67 cm.