Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác nhọn \(ABC\) với \(AH\) là đường cao, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các công thức lượng giác.

### Phần a: Chứng minh \(AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C\)

Xét tam giác \(ABC\) nhọn, \(AH\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\). Khi đó, \(H\) là chân đường cao.

Ta có:
\[ \sin B = \frac{AH}{AC} \]
\[ \sin C = \frac{AH}{AB} \]

Nhân hai vế của các phương trình trên với \(AB\) và \(AC\) tương ứng, ta được:
\[ AB \cdot \sin B = AB \cdot \frac{AH}{AC} = AH \cdot \frac{AB}{AC} \]
\[ AC \cdot \sin C = AC \cdot \frac{AH}{AB} = AH \cdot \frac{AC}{AB} \]

Do đó:
\[ AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C \]

### Phần b: Chứng minh \(BH = AB \cdot \cos B\) và \(CH = AC \cdot \cos C\)

Xét tam giác vuông \(ABH\) với \(AH\) là đường cao:
\[ \cos B = \frac{BH}{AB} \]
Nhân hai vế với \(AB\), ta được:
\[ BH = AB \cdot \cos B \]

Tương tự, xét tam giác vuông \(ACH\) với \(AH\) là đường cao:
\[ \cos C = \frac{CH}{AC} \]
Nhân hai vế với \(AC\), ta được:
\[ CH = AC \cdot \cos C \]

### Suy ra: \(BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C\)

Do \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), ta có:
\[ BC = BH + CH \]

Thay các giá trị \(BH\) và \(CH\) đã chứng minh ở trên:
\[ BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C \]

Vậy ta đã chứng minh được các đẳng thức cần thiết trong tam giác nhọn \(ABC\) với \(AH\) là đường cao.