Để xác định đẳng thức nào sai, chúng ta cần xem xét các tính chất của trung điểm và các đoạn thẳng trong tứ diện.

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó, ta có:

\[ \vec{I} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \]
\[ \vec{J} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \]

Đoạn thẳng IJ có vector là:

\[ \vec{IJ} = \vec{J} - \vec{I} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{(\vec{C} + \vec{D}) - (\vec{A} + \vec{B})}{2} = \frac{\vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B}}{2} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức:

A. \( IJ = \frac{1}{2} (AC + BD) \)

Điều này có thể đúng vì:

\[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} \]
\[ \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} \]
\[ \vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{C} - \vec{A}) + (\vec{D} - \vec{B}) = \vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B} \]

Do đó:

\[ IJ = \frac{1}{2} (\vec{AC} + \vec{BD}) \]

B. \( IJ = \frac{1}{2} (AD + BC) \)

Điều này cũng có thể đúng vì:

\[ \vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} \]
\[ \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} \]
\[ \vec{AD} + \vec{BC} = (\vec{D} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{B}) = \vec{D} + \vec{C} - \vec{A} - \vec{B} \]

Do đó:

\[ IJ = \frac{1}{2} (\vec{AD} + \vec{BC}) \]

C. \( IJ = \frac{1}{2} (DC + AD + BD) \)

Điều này không đúng vì:

\[ \vec{DC} = \vec{C} - \vec{D} \]
\[ \vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} \]
\[ \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} \]

Tổng của các vector này không thể biểu diễn dưới dạng \( \vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B} \).

D. \( IJ = \frac{1}{2} (AB + CD) \)

Điều này không đúng vì:

\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \]
\[ \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} \]

Tổng của các vector này không thể biểu diễn dưới dạng \( \vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B} \).

Vậy, đẳng thức sai là:

C. \( IJ = \frac{1}{2} (DC + AD + BD) \)

và

D. \( IJ = \frac{1}{2} (AB + CD) \)

Tuy nhiên, theo yêu cầu của bài toán chỉ có một đẳng thức sai, nên đáp án chính xác nhất là:

C. \( IJ = \frac{1}{2} (DC + AD + BD) \)