Chứng minh luôn dương với mọi giá trị của biến

Để chứng minh các biểu thức luôn dương với mọi giá trị của biến, ta cần chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của các biểu thức này luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Dưới đây là các bước chứng minh cho từng biểu thức:

### 1. \( D = x^4 + 4x^2 + 2 \)

Ta có:
\[ D = x^4 + 4x^2 + 2 \]

Xét hàm số \( f(x) = x^4 + 4x^2 + 2 \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này, ta xét đạo hàm bậc nhất:
\[ f'(x) = 4x^3 + 8x \]
\[ f'(x) = 4x(x^2 + 2) \]

Đặt \( f'(x) = 0 \):
\[ 4x(x^2 + 2) = 0 \]
\[ x = 0 \]

Tại \( x = 0 \):
\[ f(0) = 0^4 + 4 \cdot 0^2 + 2 = 2 \]

Vì \( x^4 + 4x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( D = x^4 + 4x^2 + 2 \geq 2 \). Do đó, \( D \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \).

### 2. \( E = (x+2)^2 + (x-2)^2 \)

Ta có:
\[ E = (x+2)^2 + (x-2)^2 \]

Khai triển:
\[ E = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 4x + 4) \]
\[ E = x^2 + 4x + 4 + x^2 - 4x + 4 \]
\[ E = 2x^2 + 8 \]

Vì \( x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( 2x^2 \geq 0 \). Do đó, \( E = 2x^2 + 8 \geq 8 \). Vậy \( E \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \).

### 3. \( F = (3x-2)^2 + (4x+3)^2 \)

Ta có:
\[ F = (3x-2)^2 + (4x+3)^2 \]

Khai triển:
\[ F = (9x^2 - 12x + 4) + (16x^2 + 24x + 9) \]
\[ F = 9x^2 - 12x + 4 + 16x^2 + 24x + 9 \]
\[ F = 25x^2 + 12x + 13 \]

Vì \( 25x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( F = 25x^2 + 12x + 13 \geq 13 \). Vậy \( F \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \).

### 4. \( G = x^2 + y^2 + 2x - 4y + 19 \)

Ta có:
\[ G = x^2 + y^2 + 2x - 4y + 19 \]

Hoàn thành bình phương:
\[ G = (x^2 + 2x + 1 - 1) + (y^2 - 4y + 4 - 4) + 19 \]
\[ G = (x+1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + 19 \]
\[ G = (x+1)^2 + (y-2)^2 + 14 \]

Vì \( (x+1)^2 \geq 0 \) và \( (y-2)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \) và \( y \), nên \( G = (x+1)^2 + (y-2)^2 + 14 \geq 14 \). Vậy \( G \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \) và \( y \).

### 5. \( H = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 4y + 19 \)

Ta có:
\[ H = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 4y + 19 \]

Hoàn thành bình phương:
\[ H = 2(x^2 + xy) + y^2 + 2x - 4y + 19 \]
\[ H = 2(x^2 + xy + \frac{y^2}{4}) + \frac{3y^2}{4} + 2x - 4y + 19 \]
\[ H = 2(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} + 2x - 4y + 19 \]

Vì \( 2(x + \frac{y}{2})^2 \geq 0 \) và \( \frac{3y^2}{4} \geq 0 \) với mọi \( x \) và \( y \), nên \( H \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \) và \( y \).

Tóm lại, các biểu thức \( D, E, F, G, H \) đều luôn dương với mọi giá trị của biến.