Để giải bài toán này, ta cần xác định năng suất làm việc của mỗi đội. Gọi \( A \) là số ngày đội I làm một mình để hoàn thành con mương, và \( B \) là số ngày đội II làm một mình để hoàn thành con mương.

1. **Tính năng suất chung của hai đội:**
- Hai đội cùng làm trong 10 ngày sẽ hoàn thành con mương, do đó năng suất chung của hai đội là \( \frac{1}{10} \) con mương mỗi ngày.

2. **Tính năng suất của đội I và đội II:**
- Gọi \( \frac{1}{A} \) là năng suất của đội I (phần con mương mà đội I làm được trong một ngày).
- Gọi \( \frac{1}{B} \) là năng suất của đội II (phần con mương mà đội II làm được trong một ngày).
- Khi hai đội cùng làm, năng suất chung là \( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{10} \).

3. **Tính phần công việc đã hoàn thành sau 6 ngày:**
- Sau 6 ngày, hai đội làm được \( 6 \times \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} \right) = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \) con mương.

4. **Tính phần công việc còn lại:**
- Phần công việc còn lại là \( 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \) con mương.

5. **Tính năng suất của đội II khi làm một mình với năng suất gấp đôi:**
- Đội II làm với năng suất gấp đôi, tức là \( 2 \times \frac{1}{B} \).
- Đội II hoàn thành phần công việc còn lại trong 3 ngày, do đó \( 3 \times 2 \times \frac{1}{B} = \frac{2}{5} \).
- Suy ra \( \frac{6}{B} = \frac{2}{5} \) hay \( B = 15 \).

6. **Tính năng suất của đội I:**
- Từ phương trình \( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{10} \), thay \( B = 15 \) vào ta có:
\[
\frac{1}{A} + \frac{1}{15} = \frac{1}{10}
\]
- Giải phương trình này:
\[
\frac{1}{A} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30}
\]
- Suy ra \( A = 30 \).

Vậy, nếu mỗi đội làm một mình thì:
- Đội I sẽ hoàn thành con mương trong 30 ngày.
- Đội II sẽ hoàn thành con mương trong 15 ngày.