a) Để chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông, ta sử dụng định lý Pythagore. Theo định lý Pythagore, trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Ta có:
- \(AB = a\sqrt{5}\)
- \(BC = a\sqrt{3}\)
- \(AC = a\sqrt{2}\)

Kiểm tra xem \(AB^2\) có bằng \(BC^2 + AC^2\) hay không:

\[AB^2 = (a\sqrt{5})^2 = a^2 \cdot 5 = 5a^2\]

\[BC^2 = (a\sqrt{3})^2 = a^2 \cdot 3 = 3a^2\]

\[AC^2 = (a\sqrt{2})^2 = a^2 \cdot 2 = 2a^2\]

Tổng của \(BC^2\) và \(AC^2\):

\[BC^2 + AC^2 = 3a^2 + 2a^2 = 5a^2\]

Vậy \(AB^2 = BC^2 + AC^2\), do đó tam giác ABC là tam giác vuông tại C.

b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B:

- \(\sin B = \frac{đối}{huyền} = \frac{AC}{AB} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}\)

- \(\cos B = \frac{kề}{huyền} = \frac{BC}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}\)

- \(\tan B = \frac{đối}{kề} = \frac{AC}{BC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)

- \(\cot B = \frac{kề}{đối} = \frac{BC}{AC} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\)

Từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A:

- \(\sin A = \cos B = \frac{\sqrt{15}}{5}\)

- \(\cos A = \sin B = \frac{\sqrt{10}}{5}\)

- \(\tan A = \cot B = \frac{\sqrt{6}}{2}\)

- \(\cot A = \tan B = \frac{\sqrt{6}}{3}\)