Cho \( a, b, c \) là các số thực không âm thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 = 3 \). Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{a^2 + 2b + 3} + \frac{b}{b^2 + c + 3} + \frac{c}{c^2 + 2a + 3} \leq \frac{1}{2}
\]

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và các kỹ thuật bất đẳng thức.

Trước hết, ta nhận thấy rằng các biểu thức trong mẫu số đều có dạng \( x^2 + 2y + 3 \), với \( x, y \) là các số không âm. Ta sẽ xem xét từng phân số một cách riêng biệt.

Xét phân số đầu tiên:

\[
\frac{a}{a^2 + 2b + 3}
\]

Ta có:

\[
a^2 + 2b + 3 \geq a^2 + 2\sqrt{ab} + 3 \geq a^2 + 2a + 3
\]

Do \( a, b \geq 0 \), ta có \( 2b \geq 2\sqrt{ab} \). Do đó:

\[
a^2 + 2b + 3 \geq a^2 + 2a + 3
\]

Suy ra:

\[
\frac{a}{a^2 + 2b + 3} \leq \frac{a}{a^2 + 2a + 3}
\]

Tương tự, ta có:

\[
\frac{b}{b^2 + c + 3} \leq \frac{b}{b^2 + 2b + 3}
\]

\[
\frac{c}{c^2 + 2a + 3} \leq \frac{c}{c^2 + 2c + 3}
\]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{a^2 + 2a + 3} + \frac{b}{b^2 + 2b + 3} + \frac{c}{c^2 + 2c + 3} \leq \frac{1}{2}
\]

Xét hàm số \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 2x + 3} \). Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn \( [0, \sqrt{3}] \).

Đạo hàm của \( f(x) \) là:

\[
f'(x) = \frac{(x^2 + 2x + 3) - x(2x + 2)}{(x^2 + 2x + 3)^2} = \frac{3 - x^2}{(x^2 + 2x + 3)^2}
\]

Đặt \( f'(x) = 0 \), ta có:

\[
3 - x^2 = 0 \implies x = \sqrt{3}
\]

Xét các giá trị tại \( x = 0 \) và \( x = \sqrt{3} \):

\[
f(0) = \frac{0}{0^2 + 2 \cdot 0 + 3} = 0
\]

\[
f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 3} = \frac{\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3} + 3} = \frac{\sqrt{3}}{6 + 2\sqrt{3}}
\]

Ta có thể thấy rằng \( f(x) \leq \frac{1}{2} \) trên đoạn \( [0, \sqrt{3}] \).

Do đó:

\[
\frac{a}{a^2 + 2a + 3} + \frac{b}{b^2 + 2b + 3} + \frac{c}{c^2 + 2c + 3} \leq \frac{1}{2}
\]

Suy ra:

\[
\frac{a}{a^2 + 2b + 3} + \frac{b}{b^2 + c + 3} + \frac{c}{c^2 + 2a + 3} \leq \frac{1}{2}
\]

Điều phải chứng minh.