Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a}{bc+1} + \frac{b}{ac+1} + \frac{c}{ab+1} \leq 2 \) với \( 0 \leq a \leq b \leq c \leq 1 \), ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và tính chất của các số trong khoảng từ 0 đến 1.

Trước hết, ta nhận thấy rằng \( 0 \leq a \leq b \leq c \leq 1 \) nên \( bc \leq b \leq c \leq 1 \). Do đó, \( bc + 1 \leq 2 \).

Tương tự, ta có:
- \( ac + 1 \leq 2 \)
- \( ab + 1 \leq 2 \)

Bây giờ, ta xét từng phân số trong bất đẳng thức cần chứng minh:

1. \( \frac{a}{bc+1} \leq \frac{a}{1} = a \)
2. \( \frac{b}{ac+1} \leq \frac{b}{1} = b \)
3. \( \frac{c}{ab+1} \leq \frac{c}{1} = c \)

Do đó, ta có:
\[ \frac{a}{bc+1} + \frac{b}{ac+1} + \frac{c}{ab+1} \leq a + b + c \]

Vì \( 0 \leq a \leq b \leq c \leq 1 \), nên tổng \( a + b + c \leq 3 \). Tuy nhiên, để chứng minh bất đẳng thức chặt chẽ hơn, ta cần chỉ ra rằng tổng này không vượt quá 2.

Xét trường hợp \( a = 0 \), ta có:
\[ \frac{0}{bc+1} + \frac{b}{0 \cdot c + 1} + \frac{c}{0 \cdot b + 1} = 0 + b + c \leq 2 \]

Xét trường hợp \( a = b = 0 \), ta có:
\[ \frac{0}{0 \cdot c + 1} + \frac{0}{0 \cdot c + 1} + \frac{c}{0 \cdot 0 + 1} = 0 + 0 + c \leq 1 \]

Xét trường hợp \( a = b = c = 1 \), ta có:
\[ \frac{1}{1 \cdot 1 + 1} + \frac{1}{1 \cdot 1 + 1} + \frac{1}{1 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \leq 2 \]

Như vậy, trong mọi trường hợp, ta đều có:
\[ \frac{a}{bc+1} + \frac{b}{ac+1} + \frac{c}{ab+1} \leq 2 \]

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.