Tính tỉ số đoạn thẳng BI và IE

Để tính tỉ số đoạn thẳng \( \frac{BI}{IE} \), ta cần sử dụng các tính chất của tam giác và các đoạn thẳng trong tam giác.

Cho tam giác \( ABC \) với \( AD = DB \) và \( AE = 2EC \).

1. Vì \( AD = DB \), nên \( D \) là trung điểm của \( AB \). Do đó, \( AD = DB = \frac{AB}{2} \).

2. Vì \( AE = 2EC \), nên \( E \) chia đoạn \( AC \) theo tỉ lệ \( 2:1 \). Do đó, \( AE = \frac{2}{3}AC \) và \( EC = \frac{1}{3}AC \).

3. Gọi \( I \) là giao điểm của \( DE \) và \( BC \).

Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( AEC \) với đường thẳng \( DBI \):

\[
\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BI}{IE} \cdot \frac{EC}{CA} = 1
\]

Thay các giá trị đã biết vào:

\[
\frac{AD}{DB} = 1 \quad (vì AD = DB)
\]

\[
\frac{EC}{CA} = \frac{1}{3} \quad (vì EC = \frac{1}{3}AC)
\]

Do đó:

\[
1 \cdot \frac{BI}{IE} \cdot \frac{1}{3} = 1
\]

Suy ra:

\[
\frac{BI}{IE} = 3
\]

Vậy tỉ số đoạn thẳng \( \frac{BI}{IE} \) là \( 3 \).