Để chứng minh tứ giác MNKI là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối của nó song song và bằng nhau. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ tam giác ABC nhọn.
- Vẽ các trung tuyến BN và CM, chúng cắt nhau tại trọng tâm G.
- Gọi I là trung điểm của BG và K là trung điểm của CG.
- Nối các điểm M, N, I, K để tạo thành tứ giác MNKI.

2. **Chứng minh MNKI là hình bình hành**:
- Trước hết, ta cần nhắc lại một số tính chất của trọng tâm G:
- Trọng tâm G chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn, trong đó đoạn từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài trung tuyến và đoạn từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện bằng 1/3 độ dài trung tuyến.

3. **Chứng minh các cặp cạnh đối song song và bằng nhau**:
- Xét các vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{IK}\):
- Gọi \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
- Ta có: \(N\) là trung điểm của \(AC\) và \(M\) là trung điểm của \(AB\).
- Vì \(I\) là trung điểm của \(BG\) và \(K\) là trung điểm của \(CG\), ta có:
\[
\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{G}}{2}, \quad \overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{G}}{2}
\]
- Trọng tâm G có tọa độ:
\[
\overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3}
\]
- Thay vào các biểu thức của \(I\) và \(K\):
\[
\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3}}{2} = \frac{3\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{6}
\]
\[
\overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{C} + \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3}}{2} = \frac{3\overrightarrow{C} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{6}
\]

4. **Chứng minh \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{IK}\)**:
- Tính \(\overrightarrow{MN}\):
\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}
\]
- Vì \(N\) và \(M\) là trung điểm của các cạnh, ta có:
\[
\overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2}, \quad \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}
\]
- Do đó:
\[
\overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} = \frac{\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}}{2}
\]

- Tính \(\overrightarrow{IK}\):
\[
\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{I}
\]
- Thay vào các biểu thức của \(I\) và \(K\):
\[
\overrightarrow{IK} = \frac{3\overrightarrow{C} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{6} - \frac{3\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{6} = \frac{3\overrightarrow{C} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}}{6} = \frac{2\overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{B}}{6} = \frac{\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}}{3}
\]

- Như vậy, ta có:
\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{IK}
\]

5. **Chứng minh \(\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{NK}\)**:
- Tương tự, ta có thể chứng minh:
\[
\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{NK}
\]

6. **Kết luận**:
- Vì các cặp cạnh đối của tứ giác MNKI đều song song và bằng nhau, nên tứ giác MNKI là hình bình hành.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng MNKI là hình bình hành.